自动控制理论（下）模拟试卷A一．判断题1．状态变量的选取具有非惟一性。

（√）2．由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（√）3．传递函数G(s)的所有极点都是系统矩阵A 的特征值，系统矩阵A的特征值也一定都是传递函数G(s)的极点。

（×）4．若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。

（×）5．对一个系统，只能选取一组状态变量（×）6．由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性。

（√）7．传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。

（√）8．一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李亚普诺夫稳定性与系统受干扰前所处得平衡位置无关。

（×）9．系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负实部。

（√）10．如果线性离散化后系统不能控，则离散化前的连续系统必不能控。

（×）x=处渐近稳定。

（×）11．一个系统BIBO稳定，一定是平衡状态0e12．状态反馈不改变系统的能控性。

（√）=，其李亚普诺夫意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实13．对系统x Ax部是一致的。

（√）14．若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的。

（×）15．若系统状态完全能控，则对非渐近稳定系统通过引入状态反馈实现渐近稳定，称为镇定问题。

（√）二．填空题1．以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称之为状态空间。

2． 能控性 定义: 线性定常系统的状态方程为()()()x t Ax t Bu t =+,给定系统一个初始状态00()x t x =,如果在10t t >的有限时间区间10[,]t t 内,存在容许控制()u t ,使1()0x t =,则称系统状态在0t 时刻是 能控 的;如果系统对任意一个初始状态都能控 , 称系统是状态完全 能控 的。

3．系统的状态方程和输出方程联立，写为⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x，称为系统的 状态空间表达式 ，或称为系统动态方程，或称系统方程。

4．当系统用状态方程Bu Ax x+= 表示时，系统的特征多项式为 ()det()f I A λλ=- 。

5．非线性系统()x f x =在平衡状态e x 处一次近似的线性化方程为x Ax =，若A 的所有特征值 都具有负实部 ，那么非线性系统()x f x =在平衡状态e x 处是一致渐近稳定的。

6．线性定常系统齐次状态方程解)()(0)(0t x et x t t A -=是在没有输入向量作用下，由系统初始状态00)(x t x =激励下产生的状态响应，因而称为 自由 运动。

7．系统方程()()()()()x t Ax t bu t y t cx t =+⎧⎨=⎩为传递函数()G s 的一个最小实现的充分必要条件是系统 能控且能观测 。

8．带有状态观测器的状态反馈系统中，A-bK 的特征值与A-GC 的特征值可以分别配置，互不影响。

这种方法，称为 分离原理 。

三．简答题1．简述由一个系统的n 阶微分方程建立系统状态空间模型的思路。

答: 先将微分方程两端取拉氏变换得到系统的传递函数; 传递函数的一般形式是11101110()n n n n nn n b s b s b s b G s s a s a s a ----+++=+++ 若0n b ≠，则通过长除法，传递函数()G s 总可以转化成11101110()()()n n n n n c s c s c c s G s d d s a s a s a a s ----++=+=++++将传递函数()()c s a s 分解成若干低阶(1阶)传递函数的乘积，然后根据能控标准形或能观标准形写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模型。

2．解释系统状态能控性的含义,并给出线性定常系统能控性的判别条件。

答: 对一个能控的状态，总存在一个控制律，使得在该控制律作用下，系统从此状态出发，经有限时间后转移到零状态。

对于n 阶线性定常系统x Ax Buy Cx =+⎧⎨=⎩（1）若能控性矩阵1n c Q BABA B -⎡⎤=⎣⎦行满秩，则系统是能控的。

（2）若系统的能控格拉姆矩阵 0(0,)T TAtTA tc W T eBB edt --=⎰非奇异，则系统是能控的。

3. 解释Lyapunov 稳定性的含义，并简要阐述Lyapunov 稳定判据（第一定理和第二定理）。

答: 对任意给定的“小距离”0>ε（无论多么小的），总可以根据给定的ε和初始时间0t 找到一个相应“半径”0),(0>t εδ，只要系统初态0x 与平衡点e x 的距离小于“半径”),(0t εδ即),(00t x x e εδ<-时，就有任何0t t >时，其状态)(t x 与平衡点e x 的距离小于给定的“小距离”ε，即ε<-e x t x )(，则称平衡状态是Lyapunov 稳定Lyapunov 第一定理：状态稳定性（内部稳定性）判别定理（间接法），通过求解系数矩阵A 的0)det(=-A sI 特征值（系统极点）来判断系统的稳定性称为Lyapunov 间接法。

Lyapunov 第二定理：对于系统，)),(()(t t x f t x= ，0),0(≡t f ，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数0),(>t x V ，满足以下条件：（1）若)(x V负定（0)(<x V ），则e x 是渐近稳定（局部稳定）；若当∞→x 时，∞→)(x V ，则系统是全局稳定；（2）若)(x V 半负定（0)(≤x V ），则e x 是Lyapunov 稳定（临界稳定）；进一步：若)(x V 0≡不，（0)(=x V 不是状态方程的非零解），则e x 是渐近稳定（局部稳定）；（3）若)(x V 正定（0)(>x V ），则e x 是不稳定；四．计算题1. 系统的结构如图1所示。

以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。

其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。

图1系统结构图解 图1给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。

状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。

由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。

着眼于求和点①、②、③，则有①：2111x x x+=α ②：3222x x x+=α ③：u x x+=333α 输出y 为1y x du =+，得11122233310001001x a x x a x u x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123100x y x du x ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦***************************************************************2. 已知系统的微分方程u uy y y y 75532+=+++ 。

试列写出它的状态空间表达式。

解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。

对微分方程(3)在零初试条件下取拉氏变换得：323()2()3()5()5()7()s Y s s Y s sY s Y s s U s U s +++=+332()57()235Y s s U s s s s +=+++ 在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即m 是否小于n ，若m n =需作如下处理323232()571015185()235235Y s s s s U s s s s s s s +---==+++++++ 再由公式可直接求得系统状态空间表达式为112233010000105321x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []1231005x y x u x ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦*****************************************************************3. 已知下列传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。

3321()6116s s g s s s s ++=+++解首先将传函化为严格真有理式即：232()6105()11()()6116Y s s s g s g s U s s s s ---'==+=++++ 由公式直接求得能控标准型状态空间表达式1122330100001061161x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123x y x u x ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-6-11-6由上式可得状态变量图如下：***********************************************************4. 已知系统=x Ax 的转移矩阵0(,)t t Φ是2202222()(,)2t tt t t tt t e e e e t t e ee e --------⎡⎤--=⎢⎥--⎣⎦Φ 时，试确定矩阵A 。

解 因为 0(,)t t Φ是状态转移矩阵， 所以有 00(,)(,)d t t t t dt ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭A -1ΦΦ 将00t =，00(,)t t I =Φ代入得：0213-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A******************************************************************5. 矩阵A 是22⨯的常数矩阵，关于系统的状态方程式=x Ax ，有1(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时， 22t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x2(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时， 2t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x试确定这个系统的状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。

解：因为系统的零输入响应是()(,0)(0)t t =x x Φ所以221(,0)1t t e t e --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦Φ，22(,0)1t t e t e --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦Φ将它们综合起来，得22122(,0)11tt t t e e t e e ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦Φ122222222122(,0)11122112222t t tt t t tt t t t t t t t t e e t e e e e ee e e e e e ee e -----------------⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤--=⎢⎥--⎣⎦Φ 而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵0(,)t t Φ满足微分方程()()00,,dt t t t dt=A ΦΦ 和初始条件 ()00,t t =I Φ 因此代入初始时间00t =可得矩阵A 为：0100022220(,)(,)2224240213t t t t t t t t t t t d t t t t dt e e e e e e e e -==--------=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎡⎤-+-+=⎢⎥-+-+⎣⎦⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A ΦΦ ***************************************************************** 6. 试确定当p 与q 为何值时下列系统不能控，为何值时不能观测。