二、性质
1. 筛选性质 sifting (由定义3直接可证)
设f(x)在x0点连续, 则

f (x)d (x x0 )dx f (x0 )
通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.
2. 缩放性质 scaling
d (ax) 1 d (x)
证明思路:二者对检验函数在
a
积分中的作用相同.(练习) 推论: d (x)是偶函数
n

b f (x0 nb)d [x (x0 nb)] n
练习 1-7 画函数图形
(1)
f1(
x)


1 a
c
omb
x a

rec
t
x 5a

(2)
f
2
(
x)


1 a
comb
x a

rec
t
xa 5a


n
n
利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.
f(x)
comb(x)
x.
0
0
x=
二维梳状函数: comb(x,y)= comb(x) comb(y)
x 0y
x
练习
1-4：已知连续函数f(x)，若x0>b>0,利用d 函
数可筛选出函数在x= x0+b的值，试写出 运算式。 1-5: f(x)为任意连续函数， a>0, 求函数
卷积 概念的引入：
a
回到前面的例题
f (x )
x
1/f0
x
探测器输出的光功率分布:
g(x)

xa 2
f
(x )dx


f
(x )rect( x

x )dx

f
(x) rect( x )
xa 2

a
a
计算这个卷积:
g(x)

f
(x) rect
x

xa 2
f
(x )dx
§1-2 脉冲函数 d -Function
一、定义 (续)
定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续, 则
d (x) 0, x 0



d
-
( x)f
( x)dx
f
( 0)
f(x)称为检验函数.
d -函数的图示:
d (x)
1 x
0
d (x,y)
y
1
x
0
§1-2 d -函数
f(x)=2+cos(2f0x)
练习
若 f (x) h(x) g(x) 证明： h(x) f (x) g(x)
证:


h(x) f (x) h(x ) f (x x )dx f (x x )h(x )dx


令 x-x = x’


f (x')h(x x')d(x') f (x')h(x x')dx'
x0-1/2 x0 x0+1/2
面积的值 即为g(x0).
|x| >1; g(x) = 0
g(x) 1
-1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x 0 < x <1; g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
x
-1 0 1
rect(x)*rect(x) = tri(x)
g(x)= f(x)[d(x+a) d(x-a)]
并作出示意图。 1-6：已知连续函数f(x)， a>0和b>0 。求出
下列函数：
(1) h(x)= f(x)d(ax-x0)
(2) g(x)= f(x)comb[(x- x0)/b]
§1-2 d -函数 练习
1-4:

f (x)d [x (x0 b)]dx f (x0 b)
§1-3 卷积 convolution
三、计算方法--借助几何作图
步骤:
1.用哑元 画出函数f()和h(); 2.将h()折叠成h(-);
3.将h(-)移位至给定的x, h[-( -x)]= h(x -);
4.二者相乘;
f()
h()
1/3
0
46
f()
1/5 0
1/3

0
46
-9
h(x-)
59
h(-)
1/5 -5 0
5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x).
练习: 计算
rect(x)*rect(x)
x-9 x-5
g(x) 2/15
0
x0 4 6

x 9 11 13 15
§0-3 卷积 convolution
三、计算方法--几何作图法
练习: 计算
rect(x) *rect(x)



f (x')h(x x')dx' g(x)
作业 1-8
若 f (x) h(x) g(x)
证明：
f (x x0 ) h(x) g(x x0 )
§1-3 卷积 convolution
四、性质
1. 卷积满足交换律 Commutative Property f(x)*h(x) = h (x)* f (x)


f (x)rect( x
x)dx


f
(x )rect (
x x )dx
xa 2

a

a
§1-3 卷积 convolution
一、概念的引入 (II)
物体分布
成像系统
像平面分布
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
f(x)
x x1 0 x2
成像
f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)
1-5: g(x) = f(x)[d (x+a)-d (x-a)] = f(x) d (x+a) - f(x)d (x-a) = f(-a) d (x+a) - f(a)d (x-a)
作图
1-6:
h(x) = f(x) d (ax- x0)
d a x
x0 a

1 a
§1-2 脉冲函数 d -Function
一、定义
定义1. d (x) 0, x 0



d (x)dx 1
-ห้องสมุดไป่ตู้
可描述: 单位质量质点的密度,
定义2. 基于函数系列的极限
若存在函数系列满:足:
lnim fn ( x) 0, x 0


- fn (x)dx 1
a xa2

xa 2
[2
xa 2
cos(2f0x )]dx

2a

sin[2f0 (x

a 2)] sin[2f0 (x 2f0
a 2)]

2a

cos(2f 0 x) sin(f 0 a) f0

a2

sin
c(
f0a) cos(2f0x)]
讨论这个结果
f(x 2)h(x-x 2) x
像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以 后的结果. 需用卷积运算来描述
§1-3 卷积 convolution
一、概念的引入
物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
f(x)
x x1 0 x2
成像
f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)
x
f(x 2)h(x-x 2) x
即任意函数与d(x) 卷积后不变
利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置. f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x) 的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
a
a
a
=
b
*
b
作业
1-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的 透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数 为N.
则 lim n
fn
( x)
d
( x)
单位电量点电荷的电荷密度, 单位光通量点光源的发光度,
fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx),
单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 二维圆域函数等等.
等等.
物理系统已无法分
辨更窄的函数
练习: 画出rect(x), 10rect(10x), sinc(x), 10sinc(10x) 的示意图.
5. 卷积的缩放性质 Scaling 若f(x)*h(x) = g(x), 则
f x h x b g x b b b
§1-3 卷积 convolution
五、包含脉冲函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:

f (x) d (x) f (x )d (x x )dx f (x)

§1-3 卷积 convolution
一、概念的引入
例题
用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2pf0x)
扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出 光强分布。
卷积 概念的引入
a