栏目 导引
第一章 导数及其应用
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【解】 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的 导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′＝
(x2)′＋
s (
in
x)′
cos x
cos x
＝
2x＋cos
2x－
sin x－sin cos2x
x
＝ 2x＋co1s 2x.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
(5)∵ y＝(s in2x＋ cos 2x)2－ 2s in2x·cos 2x
4
4
44
＝1－1sin2x＝1－1×1－cos x 22 2 2
第一章 导数及其应用
栏目 导引
(2)∵y＝cos u，u＝2x－π3， ∴y′＝(cos u)′·(2x－π3)′ ＝(－sin u)·2 ＝－2sin(2x－π)．
3 (3)令 u＝x2＋3x＋1，则 y＝2u， ∴y′＝2u(ln 2)·(x2＋3x＋1)′ ＝2x2＋3x＋1·(2x＋3)ln 2. (4)法一 ：∵ y＝ u2， u＝ 2x＋ 3， ∴ y′＝ (u2)′ ·(2x＋ 3)′
＝34＋14cos x，
∴y′＝34＋14cos x′＝－14sin x.
【名师点评】 对于不含复合函数的函数求导，关键有两
点：(1)正确选用导数公式和四则运算法则；
(2)有些导数要先化简再求导．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
跟踪训练 1．求下列函数的导数： (1)y＝cos x·ln x； (2)y＝ ex ；
＝6x＋cos x－xsin x.
(2)y′＝(lg
x)′－(x－2)′＝ 1 xln
10＋x23.
(3)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′
＝ 2x(e x＋ ln
x)＋(x2＋
3)ex＋1x
＝ex(x2＋2x＋3)＋2xln x＋x＋3x.
(4)∵
y＝
x2＋ s in
栏目 导引
第一章 导数及其应用
想一想 下列函数是由哪两个函数复合而成的？ (1)y＝cos 3x； (2)y＝log2(x2－x)． 提示：(1)y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成． (2)y＝log2(x2－x)由函数y＝log2u，u＝x2－x复合而成．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
第一章 导数及其应用
新知初探思维启动
1．导数运算法则 已知 f(x)，g(x)的导数存在，则： (1)[f(x)±g(x)]′＝__f_′__(x_)_±__g_′__(_x_) __； (2)[f(x)·g(x)]′＝_f_′__(_x_)_g_(x_)_＋__f_(x_)_g_′__(_x_) _； (3)[gfxx]′＝__f_′__x__g__[xg_－_x_f_]2_x_g_′___x__(g_(_x_)_≠__0_)__． 特别地： [cf(x)]′＝ cf′ (x)．
＝2u·2＝4(2x＋3)＝8x＋12. 法二：∵ y＝(2x＋ 3)2＝ 4x2＋ 12x＋ 9，
∴y′＝8x＋12.
第一章 导数及其应用
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【名师点评】 利用复合函数求导法则求复合函数的导数的 步骤： (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数； (3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．
(4)y＝x－12sin x，
∴y′＝1－12cos x.
栏目 导引
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
(1)y＝ln(3x＋1)； (2)y＝cos(2x－π)；
3 (3)y＝ 2x2＋ 3x＋ 1；
(4)y＝(2x＋3)2.
【解】 (1)∵y＝ln u，u＝3x＋1， ∴y′＝(ln u)′·(3x＋1)′ ＝1u·3＝3x3＋1.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
＝ex·sin
x－ex·cos sin2x
x
＝e
xsin x－cos sin2x
x .
(3)y′＝(ex)′ (x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)′
＝e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(4x3－ 6x－ 5)
＝e x(x4＋ 4x3－ 3x2－ 11x＋ 1)．
sin x (3)y＝ex(x4－3x2－5x＋6)；
(4)y＝x－sinx2·cosx2.
解：(1)y′＝(cos x·ln x)′
＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′
＝－sin
x·ln
x＋coxs
x .
(2)y′＝sienx
x′＝e
x′
·sin
x－ex·sin sin2x
x′
第一章 导数及其应用
1．2.2 基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则(二)
第一章 导数及其应用
学习导航 学习目标
导数公式 ―理―解→ 复合函数的求导法则 ―掌―握→
导数的四则运算法 则 重点难点 重点：利用导数的四则运算法则求解导函数． 难点：运用复合函 数的求导法则进行复合函数的求导．
栏目 导引