同余的概念及基本性质
乙若 则
丙若 则
定理1
证设 ,则 于是,
反之,设 由带余除法, ,于是,
故, ,又因 ,故
丁若 则,
证只证“ ”的情形.因 ,故 ,于是 ,所以
推论若 则
戊若 则
证 因 ,故 又因
故
定理2若
则
特别地,若 ,则
证因 故 ,从而
又因 ,故
己若 则
证因 ,故 又因 ,故
庚(ⅰ )若 则
(ⅱ)若 则
证(ⅰ )因 ,故
4.证明
证因
故
5.若 是任一奇数,则
证对 作数学归纳法.
当 时,因 为奇数,故可设 ,则
.
而 是两个连续两个整数的积,一定是 的倍数,从而 即 时结论正确.
假设对 结论正确,即
下面说明在此假设下,对 结论正确.因
,
而由归纳假设得 是 的倍数,又因 为奇数,故 也为奇数,于是 是 的倍数,故
第三章同余
§1同余的概念及其基本性质
定义给定一个正整数 ,若用 去除两个整数 和 所得的余数相同,则称 对模 同余,记作 若余数不同,则称 对模 不同余,记作 .
甲
(甲:jia 3声调;乙:yi 3声调;丙:bing 3声调;丁:ding 1声调;戊:wu声调;己:ji 3声调;庚:geng 1声调;辛: xin 1声调天;壬: ren 2声调;癸: gui 3声调.)
于是,
故 的充分必要条件是
作业P53:2,3,4,5.
习题选解
2.设正整数
证明 整除 的充分必要条件是 整除
证因为 ,故
.
于是, 由此可得,
的充分必要条件是
3.找出能被 整除的判别条件来.
解(ⅰ)因 ,故 设
则由 得 ,故
由此可得, 的充分必要条件是
(ⅱ)因 ,故
设
则由 得 ,故
由此可得, 的充分必要条件是
(ⅱ)因 故 又因
.于是
辛若,则
证因 ,故 于是,
附记最小公倍数的一个常用性质是,若 ,则
证由带余除法,设
,
则 及 得,
但 是 的最小公倍数,故
壬若 则
证因 故 又因 ,故
癸若 ,则
证因 ,故 于是,存在整数 使得 故 故
例一个整数 被 整除的充分必要条件是 的各位数字(十进制)的和倍 整除.
证设 .因 ,故