xi yi
19
25
31
38
44
19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
用最小二乘法求一个形如 y a bx2 的经验公式，并计算均方误差. 解：由题意 span 1, x 2 ,0(x ) 1,1(x ) x 2 ，

0) 所以( 0 ,
(1 , 1)
1
2
0.06232136
i
( 0 ,1 ) ( 0 ,1 )
11
1
i
0.6039755
i t i
1 11
( 0 ,y )
i 1
y i 13.639649 ，(1 ,y )
y
0.5303303
i
从而解得法方程为
11A 0.60397556 b 13.639649 0.6039755 A 0.062321366 b 0.5303303
2
53.63 ，
i 1
y i 280 ， x i y i 1078
i 1
得
6b 14.7a 280 14.7b 53.63a 1078
解得 b=-7.8550478，a=22.25376 运动方程为 S=22.25376t-7.8550478 17.已知实验数据如下：
解得：a=0.9726046，b=0.0500351 所以经验公式为 y=0.9726046+0.0500351x2 均方误差为 :
|| ||2 || y || a(0 ,y ) b(1 ,y )
2 2


1 2
(0.01693 ) 0.130
25 30 35 40 45 50 55
16.观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间 t（秒） 0 0.9 1.9 距离 s（米） 0 10 30
3.0 50
3.9 80
5.0 110
求运动方程. 解：设运动方程为 S = at + b,由给定数据得
1 i
1 6
6
6 ， x i 14.7 ，
i 1
6
6
xi i
1
6
i 1
5
1
1
5
2
5
4
xi i
5 1
7277699
( 0 , 1) ( 0 , y ) (1 , y )
得
xi i
5
2
5327
i 1
5
yi
2 1
271 .4
xi i
y i 369321 .5
5a 5327b 271 .4 5327a 727699 b 369321 .5
1 2
18.在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下： 时间 t/s 浓度 y/(x10 -4 ) 0 0 5 10 15 20
1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64
用最小二乘法求 y f(t )
b
解：将给定数据点画出草图，可见曲线近似指数函数，故设 y ae t ，两边取对 数得
Iny Ina
记 y Iny ,A Ina ，则有
b t
y A b
1
t
1 1 即 span{1, }, 0(x ) 1,1(1
12 11 ，(1 ,1 )
t i
1 11
11
t i
1
11
解得 b 7.4961692 , A 1.6515592 ,从而得 a 5.2151048 ,故
7.4961692
y 5.2151048 e
t