第一章 绪论习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字?(有效数字的计算) 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少?(有效数字的计算)3 已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +,b a ⨯有几位有效数字?(有效数字的计算)4 设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差?(误差的计算)5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=,已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
(误差限的计算)6 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
(函数误差的计算)7计算球的体积,为了使体积的相对误差限为%1,问度量半径r 时允许的相对误差限为多大?(函数误差的计算)8 设⎰-=11dx e xeI x nn ,求证:(1))2,1,0(11 =-=-n nI I n n(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大;反向递推计算时误差逐步减小。
(计算方法的比较选择)第二章 插值法习题主要考察点:拉格朗日插值法的构造,均差的计算,牛顿插值和埃尔米特插值构造,插值余项的计算和应用。
1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ,求)(x f 的拉氏插值多项式。
(拉格朗日插值)2 已知9,4,10===x x x y ,用线性插值求7的近似值。
(拉格朗日线性插值)3 若),...1,0(n j x j =为互异节点,且有)())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=+-+-试证明),...1,0()(0n k x x l xnj k jk j =≡∑=。
(拉格朗日插值基函数的性质) 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===,用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。
(拉格朗日二次插值) 5 用余弦函数x cos 在00=x ,41π=x ,22π=x 三个节点处的值,写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算6cos π及其绝对误差与相对误差,且与误差余项估计值比较。
(拉格朗日二次插值)6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ,求函数的四阶均差]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。
(均差的计算)7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值,其中1+≤n p ,而节点)1,1,0(+=n i x i 互异。
(均差的计算)8 如下函数值表建立不超过三次的牛顿插值多项式。
(牛顿插值多项式的构造)9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ,满足如下插值条件:2)1(=p ,4)2(=p ,3)2(='p ,12)3(=p 。
(插值多项式的构造)10 构造一个三次多项式)(x H ,使它满足条件1)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H H H (埃尔米特插值)。
11 设4/9,1,4/1,)(21023====x x x x x f 。
(1)试求)(x f 在[]4/9,4/1上的三次埃尔米特插值多项式)(x H ,使得)()(,2,1,0),()(11x f x H j x f x H j j '='==,)(x H 以升幂形式给出。
(2)写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式。
(埃尔米特插值及其余项的计算)。
12 若0)()(],,[)(2==∈b f a f b a c x f ,试证明:()|)( |max 81|)( |max 2x f a b x f b x a bx a ''-≤≤≤≤≤(插值余项的应用)13 设,2)2(,1)0(,1)2(==-=-f f f 求)(x p 使)2,1,0()()(==i x f x p i i ; 又设 M x f ≤'''|)(| ,则估计余项)()()(x p x f x r -=的大小。
(插值误差的估计)习题主要考察点:最小二乘法,最佳平方逼近,正交多项式的构造。
1 设x x f πsin )(=,求)(x f 于]1,0[上的线性最佳平方逼近多项式。
(最佳平方逼近)2 令11,)(≤≤-=x e x f x,且设x a a x p 10)(+=,求10,a a 使得)(x p 为)(x f 于]1,1[- 上的最佳平方逼近多项式。
(最佳平方逼近) 3证明:切比雪夫多项式序列)arccos cos()(x k x T k =在区间[]1,1-上带权211)(xx -=ρ正交。
(正交多项式的证明)4求矛盾方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。
(最小二乘法)5 已知一组试验数据试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。
(最小二乘线性逼近) 6 用最小二乘原理求一个形如2bx a y +=的经验公式,使与下列数据相拟合。
(最小二乘二次逼近)习题主要考察点:代数精度的计算,构造插值型求积公式(梯形,辛甫生公式),复化求积的计算,高斯公式的构造。
1给定求积公式)()0()()(h cf bf h af dx x f hh++-≈⎰-试确定c b a ,,使它的代数精度尽可能高。
(代数精度的应用和计算) 2 求积公式)0()1()0()(0101f B f A f A dx x f '++≈⎰,试确定系数0A ,1A 及0B ,使该求积公式具有尽可能高的代数精确度,并给出代数精确度的次数。
(代数精度的应用和计算) 3数值积分公式)]2()1([23)(3f f dx x f +≈⎰,是否为插值型求积公式,为什么?又该公式的代数精确度为多少?(插值型求积公式特征)4如果0)(>''x f ,证明用梯形公式计算积分⎰badx x f )(所得到的结果比准确值大,并说明其几何意义。
(梯形求积) 5用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x,并估计误差。
(复化梯形求积) 6设2)1(,9)5.0(,6)0(,4)5.0(,1)1(====-=-f f f f f ,则用复化辛甫生公式计算⎰-11)(dx x f ,若有常数M 使 M f ≤||)4(,则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。
(复化辛甫生公式)7已知高斯求积公式)57735.0()57735.0()(11-+≈⎰-f f dx x f 将区间[0,1]二等分,用复化高斯求积法求定积分⎰1dx x 的近似值。
(高斯公式)8 试确定常数A ,B ,C 和a ,使得数值积分公式)()0()()(22a Cf Bf a Af dx x f ++-≈⎰-有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少?它是否为高斯型的?(代数精度的应用和计算,高斯点的特征)9设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次幂项系数为1的正交多项式系 (1)求)(2x P 。
(2)构造如下的高斯型求积公式)()()(11001x f A x f A dx x xf +≈⎰。
(高斯求积)习题主要考察点:高斯消去法,LU 分解法,平方根法和追赶法解线性方程组。
1用高斯消去法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120621911432321x x x 。
(高斯消去法的应用)2用LU 分解法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++12302321321321x x x x x x x x x 。
(LU 分解法的应用)3设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=322214112A ,求A 的LU 分解。
(LU 分解法的应用) 4试用“追赶法”解方程组b Ax =,其中:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=520142013A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=971b (追赶法的应用) 5设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112111A ,求2)(cond A (条件数的计算) 6求证:1≥I,AA11≥-(范数的性质) 7求证:∞⋅≤A A A122。
(范数的性质) 8对矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=2100121001210012A ,求∞A ,1A ,2A 和2)(cond A 。
(范数,条件数的计算)9方程组b Ax =,其中nn RA ⨯∈,A 是对称的且非奇异。
设A 有误差A δ,则原方程组变化为b x x A A =++))((δδ,其中x δ为解的误差向量,试证明:22122A A xx xn δλλδδ≤+,其中1λ和n λ分别为A 的按模最大和最小的特征值。
(范数的性质,误差的分析)10证明:若n n ij a A ⨯=)(为严格对角占优矩阵,则A 非奇异。
(严格对角占优矩阵的性质)习题主要考察点:雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组,及其收敛性讨论。
1证明:迭代格式f Bx x k k +=+)()1(收敛,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21,8.03.009.0f B 。
(迭代法收敛性判断)2若用雅可比迭代法求解方程组)0(221122221211212111≠⎩⎨⎧=+=+a a b x a x a b x a x a 迭代收敛的充要条件是122112112<a a a a 。
(雅可比迭代法的收敛性)3 用雅可比、高斯-塞德尔迭代法,求解方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 是否收敛?为什么?若将方程组改变成为⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 再用上述两种迭代法求解是否收敛?为什么?(雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性)4证明解线性方程组b Ax =的雅可比迭代收敛,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110121014A 。
(雅可比迭代收敛性判断)5已知方程组b Ax =,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=13.021A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21b(1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。
(2) 若有迭代公式)()()()1(b Ax x xk k k ++=+α,试确定α的取值范围,使该迭代公式收敛。