高中数学课时分层作业1命题（含解析）新人教A 版选修21
课时分层作业(一) 命题
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列语句中是命题的是( )
A ．周期函数的和是周期函数吗？
B ．sin 45°＝1
C ．x 2＋2x －1>0
D ．x 2＋y 2＝0
B [对于A ，是疑问句，不是命题；对于
C ，
D ，不能判断真假，不是命题；对于B ，是陈述句且能判断真假，是命题．]
2．下列命题中是假命题的是( )
A ．a·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，则a ⊥b
B ．若|a |＝|b |，则a ＝b
C ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b
D ．若α＝60°，则cos α＝12
B [因为|a |＝|b |只能说明a 与b 的模相等，所以a ＝b 不一定成立，故选B.]
3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是( )
A ．两条直线
B ．一个平面
C ．垂直
D ．两条直线垂直于同一个平面
D [命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．]
4．下列四个命题中，真命题是( )
A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bd
B ．a ＜b ⇒a 2＜b 2
C ．1a ＜1b
⇒a ＞b D ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －d
D [可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题．]
5．给出命题“方程x 2
＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )
A．4 B．2 C．0 D．－3
C[由题意知，Δ＝a2－4<0，故a＝0符合题意．]
二、填空题
6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．
a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真[a>0时，设a＝1，把(0，0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]
7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p，则q”的形式为________．
若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称[命题若p，则q的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．] 8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝a x＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作AB∥A′B′.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．
①③⑤③⑤[①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]
三、解答题
9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？
(1)2＋22是有理数；
(2)1＋1>2；
(3)2100是个大数；
(4)968能被11整除；
(5)非典型性肺炎是怎样传播的？
[解](1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)体对角线相等的四棱柱是长方体；
(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除；
(3)正弦值相等的两个角的终边相同．
[解](1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．
(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．
(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．
[能力提升练]
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )
A ．红豆生南国
B ．春来发几枝
C ．愿君多采撷
D ．此物最相思
A [“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]
2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )
A ．余弦值
B ．第二象限
C ．一个角是第二象限角
D ．没有条件
C [原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C.]
3．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：
①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；
②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则k ＝－3；
③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.
其中真命题的序号为________．
② [①若a ·b ＝a ·c ，则a ·(b －c )＝0，
因此b ＝c 不正确；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，
a ∥
b ，则－2k －6＝0，即k ＝－3，正确；
③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△AOB 为等边三角形，因
此，a 与a ＋b 的夹角为30°，③不正确，故选②.]
4．已知a ，b 为实数，且ab ≠0，则下列命题是真命题的是________(填序号)．
①若a ＞0，b ＞0，则
a ＋
b 2≥ab ； ②若a ＋b 2≥ab ，则a ＞0，b ＞0；
③若a ≠b ，则
a ＋
b 2＞ab ； ④若
a ＋
b 2＞ab ，则a ≠b .
①④ [①中，由基本不等式可得：若a ＞0，b ＞0，则
a ＋
b 2≥ab ，正确；②中，当a ＝b ＝0时，满足a ＋b 2≥ab ，但不满足a ＞0，b ＞0，错误；③中，若a ，b 都为正数时成立，
否则不成立，错误；④中，由a ＋b 2＞ab ，平方得(a －b )2
＞0，虽然a ≠b ，正确，故填①④.] 5．已知p ：5x －1＞a ，q ：x ＞1，请确定实数a 的取值范围，使得(1)“若p ，则q ”为真命题；(2)“若q ，则p ”为真命题．
[解] (1)命题“若p ，则q ”即为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”，由命题为真命题可知1＋a 5
≥1，解得a ≥4，故实数a 的取值范围为[4，＋∞)．
(2)命题“若q ，则p ”即为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a 5
≤1，解得a ≤4，故实数a 的取值范围为(－∞，4]．。