初三数学1v1讲义
二次函数几何问题
本章进步目标
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【难点·题型一】 二次函数与面积
◇方法技巧◇ 用点的坐标表示出相关线段的长，进一步求出面积
题型一：纵割法
【例1】如图，二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点A （2，4）与B （6，0）．
（1）求a ，b 的值；
（2）点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．
【例2】已知抛物线222
12--+=m mx x y 与x 轴交于A,B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D （-1，n ）是抛物线上的一点，连接AC,AD,CD.若△ACD 的面积是5，求m 的值.
〖针对练习1〗
1.如图，已知抛物线23
4 2
y ax x
=++的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）与点C（8，0）两点，
与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）直接写出B点的坐标；
（2）求该二次函数的解析式；
（3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP的面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点P的坐标，若不存在说明理由．
【难点·题型二】二次函数与三角形
◇方法技巧◇
利用等腰三角形或直角三角形的性质，找出线段相等的关系并利用两点之间的距离公式，转化为坐标之间的关系. 题型一：二次函数与等腰三角形
【例1】已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
题型二：二次函数与直角三角形
【例2】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直
接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
〖针对练习2〗
1.如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点C（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．
（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，-2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．
2.如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；
（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．
3.如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【难点·题型三】二次函数与四边形◇方法技巧◇
利用平行四边形的性质，找出线段之间的关系，再转化为点的坐标之间的关系. 题型一：二次函数与平行四边形
【例1】如图,抛物线
c
x
ax
y+
+
=6
2
交x轴于A. B两点，交y轴于点C. 直线y=x−5经过点B. C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作AM⊥BC于点M,过抛物线上一动点P(不与点B. C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标。
【例2】如图,抛物线c bx x y ++=232经过点B(3,0),C(0,−2),直线l:3
232--=x y 交y 轴于点E,且与抛物线交于A,D 两点,P 为抛物线上一动点(不与A,D 重合).
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P 在直线l 下方时,过点P 作P M∥x 轴交l 于点M,PN∥y 轴交l 于点N ，求PM+PN 的最大值。
(3)设F 为直线l 上的点，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由。
题型二：二次函数与正方形
【例3】如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B.
（1）求抛物线的解析式.
（2）Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标.
（3）若M ，N 为抛物线上两个动点，分别过M ，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D ，E.是否存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由.
〖针对练习3〗
1.如图，一次函数22
1+-=x y 分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，抛物线c bx x y ++-=2过A 、B 两点。
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N 。
求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标。
2.如图，已知抛物线22
1412+--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C. （1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，当以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形时，求点E 、F 的坐标。