2021年温州市中考数学重难点复习：二次函数目录一、历年真题二、知识点讲解三、各地真题及模拟题精讲一、历年真题一．选择题（共8小题）1．将抛物线y ＝x 2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝x 2﹣1B ．y ＝x 2﹣3C ．y ＝（x +1）2﹣2D ．y ＝（x ﹣1）2﹣2【解答】解：将抛物线y ＝x 2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y ＝x 2﹣2+1，即y ＝x 2﹣1． 故选：A ．2．如图，抛物线y ＝﹣（x +m ）2+5交x 轴于点A ，B ，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点C ，则点C 的纵坐标为（ ）A ．52B ．114C ．3D ．134【解答】解：将抛物线y ＝﹣（x +m ）2+5向右平移3个单位后得到y ＝﹣（x +m ﹣3）2+5，根据题意得：{y =−(x +m)2+5y =−(x +m −3)2+5，解得：{x =32−my =114， ∴交点C 的坐标为（32−m ，114），故选：B ．3．已知点A （﹣3，a ），B （﹣2，b ），C （1，c ）均在抛物线y ＝3（x +2）2+k 上，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解答】解：函数的对称轴为：x ＝﹣2， a ＝3＞0，故开口向上，x ＝1比x ＝﹣3离对称轴远，故c 最大，b 为函数最小值， 故选：C ．4．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且对称轴在（﹣1，0）的左边，下列结论一定正确的是（）A．abc＞0B．2a﹣b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a﹣b+c＞﹣1【解答】解：A、如图所示，抛物线经过原点，则c＝0，所以abc＝0，故不符合题意；B、如图所示，对称轴在直线x＝﹣1的左边，则−b2a＜−1，又a＞0，所以2a﹣b＜0，故符合题意；C、如图所示，图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故不符合题意；D、如图所示，当x＝﹣1时y＜0，即a﹣b+c＜0，但无法判定a﹣b+c与﹣1的大小，故不符合题意．故选：B．5．抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×9＝0∴二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴有一个交点．故选：B．6．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（）A．0B．−32C．2D．﹣2【解答】解：当y＝0时，x2﹣3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3，∴点A1的坐标为（3，0）．由旋转的性质，可知：点A2的坐标为（6，0）．∵2020＝336×6+4，∴当x＝4时，y＝m．由图象可知：当x＝2时的y值与当x＝4时的y值互为相反数，∴m＝﹣（2×2﹣3×2）＝2．故选：C．7．二次函数y＝﹣x2+2mx（m为常数），当0≤x≤1时，函数值y的最大值为4，则m的值是（）A．±2B．2C．±2.5D．2.5【解答】解：y＝﹣x2+2mx＝﹣（x﹣m）2+m2（m为常数），①若m≤0，当x＝0时，y＝﹣（0﹣m）2+m2＝4，m不存在，②若m≥1，当x＝1时，y＝﹣（1﹣m）2+m2＝4，解得：m＝2.5；③若0≤m≤1，当x＝m时，y＝m2＝4，即：m2＝4，解得：m＝2或m＝﹣2，∵0≤m≤1，∴m＝﹣2或2都舍去，故选：D．8．抛物线y＝x2+2x+3与y轴的交点为（）A ．（0，2）B ．（2，0）C ．（0，3）D ．（3，0）【解答】解：把x ＝0代入y ＝x 2+2x +3，求得y ＝3， ∴抛物线y ＝x 2+2x +3，与y 轴的交点坐标为（0，3）． 故选：C ．二．填空题（共12小题）9．抛物线y ＝x 2﹣9与y 轴的交点坐标为 （0，﹣9） ． 【解答】解：令x ＝0，y ＝x 2﹣9＝﹣9， 故答案为：（0，﹣9）10．已知二次函数y ＝x 2﹣4x +3，当a ≤x ≤a +5时，函数y 的最小值为﹣1，则a 的取值范围是 ﹣3≤a ≤2【解答】解：∵二次函数y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1， ∴对称轴为直线x ＝2，当a ＜2＜a +5时，则在a ≤x ≤a +5范围内，x ＝2时有最小值﹣1， 当a ≥2时，则在a ≤x ≤a +5范围内，x ＝a 时有最小值﹣1， ∴a 2﹣4a +3＝﹣1， 解得a ＝2，当a +5≤2时，则在a ≤x ≤a +5范围内，x ＝a +5时有最小值﹣1， ∴（a +5）2﹣4（a +5）+3＝﹣1， 解得a ＝﹣3，∴a 的取值范围是﹣3≤a ≤2， 故答案为﹣3≤a ≤2．11．若二次函数y ＝x 2+x +1的图象，经过A （﹣3，y 1），B （2，y 2），C （12，y 3），三点y 1，y 2，y 3大小关系是 y 3＜y 1＝y 2 （用“＜”连接） 【解答】解：∵y ＝x 2+x +1＝（x +12）2+34， ∴图象的开口向上，对称轴是直线x =−12， A （﹣3，y 1）关于直线x =−12的对称点是（2，y 1）， ∵12＜2，∴y 3＜y 1＝y 2，故答案为y 3＜y 1＝y 2．12．如图，C ，D 是抛物线y =56（x +1）2﹣5上两点，抛物线的顶点为E ，CD ∥x 轴，四边形ABCD 为正方形，AB 边经过点E ，则正方形ABCD 的边长为245．【解答】解：设AB ＝CD ＝AD ＝BC ＝a ， ∵抛物线y =56（x +1）2﹣5，∴顶点E （﹣1，﹣5），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴C 的横坐标为a2−1，D 的横坐标为﹣1−a2，∵点C 在抛物线y =56（x +1）2﹣5上，∴C 点纵坐标为56（a2−1+1）2﹣5=5a 224−5，∵E 点坐标为（﹣1，﹣5）， ∴B 点纵坐标为﹣5， ∵BC ＝a ， ∴5a 224−5﹣a ＝﹣5，解得：a 1=245，a 2＝0（不合题意，舍去）， 故答案为：245．13．一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h （m ）关于运动时间t （s ）的函数表达式为h ＝at 2+bt ，其图象如图所示．若小球在发射后第2s 与第6s 时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间 8 （s ）．【解答】解：由题意可知：小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则函数h＝at2+bt的对称轴t=6+22=4，故小球从发射到回到水平面共需时间8秒，故答案是：8．14．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（2√6−4）m．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±√6，所以水面宽度增加到2√6米，比原先的宽度当然是增加了2√6−4，故答案为：（2√6−4）．15．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y ＝（x+3）2﹣2．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是y＝（x+3）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x+3）2向下平移2个单位所得的抛物线的表达式是y＝（x+3）2﹣2．故答案为：y＝（x+3）2﹣2．16．二次函数y＝x2﹣2x+3图象与y轴的交点坐标是（0，3）．【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣2x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．故答案为（0，3）．17．已知点A（1，y A），B（0，y B），C（﹣1，y c）是抛物线y＝ax2+4ax+c（a＞0）上三个点，若抛物线与x轴至多只有一个交点，则y Ay B−y C的最小值是3．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+c（a＞0）与x轴至多只有一个交点，∴b2﹣4ac≤0，即：16a2﹣4ac≤0，又∵a＞0，∴4a﹣c≤0，即c≥4a，把点A（1，y A），B（0，y B），C（﹣1，y c）代入抛物线y＝ax2+4ax+c得，y A＝a+4a+c＝5a+c，y B＝c，y C＝a﹣4a+c＝﹣3a+c，∴y Ay B−y C =5a+cc+3a−c=53+c3a，当c ＝4a 时，其值最小， 因此y A y B −y C的最小值为53+43=3，故答案为：3．18．如图，抛物线y 1的顶点在y 轴上，y 2由y 1平移得到，它们与x 轴的交点为A 、B 、C ，且2BC ＝3AB ＝4OD ＝6，若过原点的直线被抛物线y 1、y 2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 y =34x ．【解答】解：∵2BC ＝3AB ＝4OD ＝6， ∴BC ＝3，AB ＝2，OD =32，则：A （﹣1，0）、B （1，0）、D （0，32）、C （4，0），把A （﹣1，0）、B （1，0）、D （0，32）三点坐标代入：y ＝ax 2+bx +c ，解得：y 1=−32x 2+32⋯①， 同理可得：y 2=−32x 2+152x ﹣6…②； 设：过原点的直线方程为：y ＝kx ，（k ＞0）…③，联立①、③得：3x 2+2kx ﹣3＝0， 则：x 1+x 2=−2k3，x 1x 2＝﹣1， 则：G 、F 两点横坐标差＝x 2﹣x 1=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4k 29−4×(−1)=√4k29+4，同理：K 、H 两点横坐标差=√(15−2k)29−16，∵AG ＝KH ，∴√4k 29+4=√(15−2k)29−16， 解得：k =34，故：直线的解析式为y =34x ．19．如图，已知直线y ＝﹣2x +1与抛物线y ＝x 2﹣2x +c 的一个交点为点A ，作点A 关于抛物线对称轴的对称点A ′，当A ′刚好落在y 轴上时，c 的值为 ﹣3 ．【解答】解：二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的对称轴为：x =−−22×1=1， ∵点A 关于抛物线对称轴的对称点A ′落在y 轴上， ∴点A 的横坐标为2，把x ＝2代入y ＝﹣2x +1，得y ＝﹣3， ∴A （2，﹣3），把A （2，﹣3）代入y ＝x 2﹣2x +c ，则 c ＝﹣3． 故答案为：﹣3．20．小林家的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图1）．当手按住顶部A 下压如图2位置时，洗手液瞬间从喷口B 流出路线呈抛物线经过C 与E 两点．瓶子上部分是由弧CE ̂和弧FD ̂组成，其圆心分别为D ，C ．下部分的是矩形CGHD 的视图，GH ＝10cm ，点E 到台面GH 的距离为14cm ，点B 距台面的距离为16cm ，且B ，D ，H 三点共线．若手心距DH 的水平距离为2cm 去接洗手液时，则手心距水平台面的高度为 11 cm ．【解答】解：如图：∵CD ＝DE ＝10，根据题意，得C （﹣5，8），E （﹣3，14），B （5，16）．设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c ，因为抛物线经过C 、E 、B 三点，∴{9a −3b +c =1425a −5b +c =825a +5b +c =16解得{ a =−1140b =45c =1518所以抛物线解析式为y =−1140x 2+45x +1518．当x ＝7时，y ＝11．∴Q （7，11）所以手心距水平台面的高度为11cm ．故答案为11．三．解答题（共30小题）21．已知，如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过直线y ＝﹣x +3与坐标轴的两个交点A ，B ．此抛物线与x 轴的另一个交点为C ．抛物线的顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点M 为抛物线上一动点，是否存在点M ．使△ACM 与△ABC 的面积相等？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y ＝﹣x +3，∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝3，∵直线y ＝﹣x +3与坐标轴的两个交点A ，B ，∴点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过直线y ＝﹣x +3与坐标轴的两个交点A ，B ，∴{−32+3b +c =0c =3，得{b =2c =3， 即抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）存在点M ．使△ACM 与△ABC 的面积相等．∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣3）（x +1）＝﹣（x ﹣1）2+4与x 轴的另一个交点为C ．抛物线的顶点为D ，∴点C 的坐标为（﹣1，0），点D 的坐标为（1，4），∵△ACM 与△ABC 的面积相等，点B 的坐标为（0，3），∴点M 的纵坐标是3或﹣3，当点M 的纵坐标为3时，3＝﹣x 2+2x +3，得x 1＝0，x 2＝2，则点M 的坐标为（2，3）；当点M 的纵坐标为﹣3时，﹣3＝﹣x 2+2x +3，得x 3=√7+1，x 4=−√7+1，则点M 的坐标为（√7+1，﹣3）或（−√7+1，﹣3）；由上可得，点M的坐标为（2，3）、（√7+1，﹣3）或（−√7+1，﹣3）．22．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出20件，每件盈利40元；乙店一天可售出32件，每件盈利30元．经调查发现，每件衬杉每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．设甲店每件衬衫降价a元时，一天可盈利y1元，乙店每件衬衫降价b元时，一天可盈利y2元．（1）当a＝5时，求y1的值．（2）求y2关于b的函数表达式．（3）若总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？【解答】解：（1）由题意可得，y1＝（40﹣a）（20+2a），当a＝5时，y1＝（40﹣5）×（20+2×5）＝1050，即当a＝5时，y1的值是1050；（2）由题意可得，y2＝（30﹣b）（32+2b）＝﹣2b2+28b+960，即y2关于b的函数表达式为y2＝﹣2b2+28b+960；（3）设两家下降的价格都为x元，两家的盈利和为w元，w＝（40﹣x）（20+2x）+（﹣2x2+28x+960）＝﹣4x2+88x+1760＝﹣4（x﹣11）2+2244，∴当x＝11时，w取得最大值，此时w＝2244，答：每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是2244元．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+2x+a交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和函数表达式．（2）连结BC线段，BC上有一点D，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F，若EF＝6，求点D的坐标．【解答】解：（1）∵A点的横坐标为﹣2，∴A（﹣2，0），∵点A在抛物线y=−12x2+2x+a上，∴﹣2﹣4+a＝0，解得：a＝6，∴函数的解析式为：y=−12x2+2x+6，∴对称轴为x=−b2a=−22×(−12)=2；（2）∵A（﹣2，0），对称轴为x＝2，∴点B的坐标为（6，0），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，∵点D在BC上，∴设点D的坐标为（m，﹣m+6），∴点E和点F的纵坐标为﹣m+6，∴y=−12x2+2x+6＝﹣m+6，解得：x＝2±√2m+4，∴EF＝2+√2m+4−（2−√2m+4）＝2√2m+4，∵EF＝6，∴2√2m+4=6，解得：m＝2.5，∴点D的坐标为（2.5，3.5）．24．永农化工厂以每吨800元的价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x 吨化工产品．（1）用x 的代数式表示该厂购进化工原料 54x 吨；（2）当x ＞50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y ，求y 关于x 的函数关系式；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？【解答】解：（1）x ÷0.8=54x 吨，故答案为：54x ； 故答案为：54x ；（2）根据题意得，y ＝x [1600﹣4（x ﹣50）]−54x •800＝﹣4x 2+800x ，则y 关于x 的函数关系式为：y ＝﹣4x 2+800x ；（3）当y ＝38400时，﹣4x 2+800x ＝38400，x 2﹣200x +9600＝0，（x ﹣120）（x ﹣80）＝0，x ＝120或80，∵﹣4＜0，∴当y ≥38400时，80≤x ≤120，∴100≤54x ≤150，∴如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内．25．如图，抛物线y=−12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y=−12x2+2x+6令y＝0，得到−12x2+2x+6＝0，解得x＝﹣2或6，∴B（﹣2，0），A（6，0），令x＝0，得到y＝6，∴C（0，6），∴抛物线的对称轴x=−b2a=2，A（6，0）．（2）∵y=−12x2+2x+6=−12(x−2)2+8，∴抛物线的顶点坐标D（2，8），设直线AC的解析式为y＝kx+6，∴0＝6k+6，∴k＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，∴F（2，4），∴DF＝4，∴S△ACD=12DF•OA=12×4×6＝12；（3）如图1，过点O作OM⊥AC交DE于点P，交AC于点M，∵A（6，0），C（0，6），∴OA＝OC＝6，∴CM＝AM，∴CP＝AP，此时AC为等腰三角形ACP的底边，∴OE＝PE＝2．∴P（2，2），如图2，过点C作CP⊥DE于点P，∵OC＝6，DE＝8，∴PD＝DE﹣PE＝2，∴PD＝PC，此时△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴P（2，6），如图3，作AD的垂直平分线交DE于点P，则PD＝P A，设PD＝x，则PE＝8﹣x，在Rt△P AE中，PE2+AE2＝P A2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴PE＝8﹣5＝3，∴P（2，3），综合以上可得点P的坐标为（2，2）或（2，6）或（2，3）．26．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，求△BCD的面积；（2）如图2，P是抛物线BD段上一动点，连接CP并延长交x轴于E，连接BD交PC 于F，当△CDF的面积与△BEF的面积相等时，求点E和点P的坐标．【解答】解：（1）在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当x ＝0时，y ＝﹣3，∴C （0，﹣3），当x =−b 2a=1时，y ＝﹣4， ∴顶点D （1，﹣4），当y ＝0时，x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），如图1，连接BC ，过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，作点D 作DN ⊥x 轴于点N ， ∴DC 2＝DM 2+CM 2＝2，BC 2＝OC 2+OB 2＝18，DB 2＝DN 2+BN 2＝20， ∴DC 2+BC 2＝DB 2，∴△BCD 是直角三角形，∴S △BCD =12DC •BC =12√2×3√2=3；（2）设直线BD 的解析式为y ＝kx +b ，将B （3，0），D （1，﹣4）代入，得{3k +b =0k +b =−4， 解得，k ＝2，b ＝﹣6，∴y BD ＝2x ﹣6，设P （a ，a 2﹣2a ﹣3），直线PC 的解析式为y ＝mx ﹣3，将P （a ，a 2﹣2a ﹣3）代入，得am ＝a 2﹣2a ﹣3，∵a ≠0，∴解得，m ＝a ﹣2，∴y PC ＝（a ﹣2）x ﹣3，当y ＝0时，x =3a−2，∴E （3a−2，0），联立{y =2x −6y =(a −2)x −3， 解得，{x =4−a 3y =6a−184−a， ∴F （4−a 3，6a−184−a ），过点C 作x 轴的平行线，交BD 于点H ，则y H ＝﹣3， ∴H （32，﹣3）， ∴S △CDF =12CH •（y F ﹣y D ），S △BEF =12BE •（﹣y F ）， ∴当△CDF 与△BEF 的面积相等时，12CH •（y F ﹣y D ）=12BE •（﹣y F ），即12×32（6a−184−a+4）=12（3a−2−3）（−6a−184−a ）， 解得，a 1＝4（舍去），a 2=135，∴E （5，0），P （135，−3625）．。