从微观到宏观描绘电场和磁场分布——用Mathematica模拟电场和磁场黄申石PB10030013（中国科学技术大学安徽合肥）【摘要】电场线和磁感线可以形象地表达电场和磁场的分布，由于电场和磁场都符合场的叠加原理，通过了解带电场源的具体信息，就可以描绘出电场和磁场的分布。

针对不同的带电场源，选用不同的方式进行计算机模拟场的分布，其效率是不同的。

在使用计算机模拟场的分布时，通过对带电场源进行具体的分析，选择出最合适的途径进行模拟。

【关键词】电场分布、磁场分布、微观、宏观、模拟。

1 引言在与电磁学相关的领域中，有许多问题涉及电场和磁场，甚至需要设计电场或者磁场。

在没有信息时代到来之前，人们只能通过数学公式和大脑的想象得带电场和磁场的形状。

如今，我们借助计算机强大的计算和绘图功能，根据场源的具体信息，通过合适的手段来模拟得到电场和磁场的分布。

目前，一部分学者已经对一些简单的基本场源模型（如直线排列的点电荷系[1]，均匀带电圆盘[2]等）做了较深入的理论计算，却在计算机模拟图像方面为之甚少。

因为计算机模拟图像时需要考虑到计算机软件和硬件的运算效率，只有找到合适的表达式才可以进行高效模拟。

本文将介绍两种不同的计算机模拟思想。

2 描绘电场分布2.1带电系统的电势分布和电场分布[3]考虑真空中的点电荷q ，q 在空间中得位置矢量为'r ，空间中任一点P 的位置矢量为r，q 在点P 产生的电势为r -r q r U ,041)(πε= （2.1.1）其中11201085.8--⋅⨯≈m F ε由于电势满足标量的叠加原理，可将一个点电荷的情况推广到带电系统的情况：对N 个静止点电荷组成的系统有∑==Ni ,r -r q r U 1041)( πε （2.1.2） 对长度为L 、线电荷密度为)(,r e λ的带电线有')(41)(0dLr -r r r U L ,,e ⎰=λπε （2.1.3）对面积为S 、面电荷密度为)(,r e σ的带电面有')(41)(0dSr -r r r U S ,,e ⎰⎰=σπε （2.1.4） 对体积为V 、体电荷密度为)(,r e ρ的带电体有')(41)(0dVr -r r r U V,,e ⎰⎰⎰=ρπε （2.1.5） 由于空间中的电场函数)(r E 为电势函数)(r U的负梯度函数，即)ˆˆˆ(z xUy y U x x U U E ∂∂+∂∂+∂∂-=-∇= （2.1.6）2.2 计算机模拟电场分布利用2.1得出的公式，用数学软件Mathematic7.0计算可以描绘出简单的点电荷系的电场线和等势面。

2.2.1 一个点电荷：令 C e q 1910602.1-⨯== ，以点电荷所在的坐标为原点。

通过软件模拟出的电场线呈射线状发散至无穷远，同时电场逐渐变小。

由于在接近点电荷的地方，电场线和等势面过于密集，软件无法很精确的进行作图，所以在模拟出的图像中会有一边空白。

总体上而言，通过软件模拟出的图像符合理论上的曲线图像，而基于这一点，我们可以认为所有带电体都是由这样的点电荷聚集而成，带电体产生的电场就是点电荷电场的叠加，这样，就可以通过计算机模拟一些更复杂的情况，实现从微观到宏观的分析。

2.2.2 两个点电荷：由2.1的公式，可知两个点电荷的电势函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= r -r Qb r -r Qa r U ,,041)(πε。

其中Qa 、Qb 分别为两个电荷的带电量，利用Mathematica7.0软件制作动画，更加形象地模拟两个点电荷形成的电场。

用放大倍数d 观察，动态演示电场变化的过程。

（1）带电量Qb 变化过程：（2）放大倍数d 变化过程从软件模拟出结果看来，两个电荷对电场都有影响。

当两个电荷带电量相同的时候，电场分布体现出了很好的对称性；当两个电荷的带电量不同时，电量较大的电荷对电场影响较大；当两个电荷带电量悬殊时，则带电量较小的电荷在空间中产生的电场可以忽略不计。

从宏观的角度来看，两个电荷间的距离很小或者带电量比值很小的时候，得到的图像和“一个点电荷”的模型极为相似。

从理论计算的角度也可以说明，在两个点电荷间距很小时，电场中,a r 和,b r近似相等，因此可把“两个点电荷”的模型近似看成“一个点电荷”的模型，而电场强度和空间电势的大小取决于点电荷总带电量Q = Qa + Qb 的大小。

特别地，对于电偶极子的模型，Q = Qa + Qb = 0，我们是否可以认为空间中正负电荷产生的电场相互抵消了呢？从这种宏观的角度看，如果电偶极子的带电量较小，空间中的电场近似为零。

由电偶极子在空间中的电场分布公式r rr p r pE 50304)(34πεπε⋅+-=，也可以看出在p较小时，0≈E 。

不过，若需要精确计算电偶极子在空间中产生的电场，就不能停留在宏观的角度，需要在微观上进行精确的理论计算。

2.2.3 点电荷系：点电荷系的电势和电场公式形式比较简单，我们试观察一般的点电荷系的电场分布。

2.2.4 线电荷：由于线电荷在空间产生的电场具有对称性，因此，我们可以把关于线电荷周围电场分布的讨论限定在二维空间内。

假设平面中一条长度为L 的均匀带电线电荷，两端坐标为)0,0(和),0(L ，在空间中产生的电势：')(41)(,0dL|r -r | r r U L ,e ⎰=λπεdl yl x y x U Le⎰+-=22)(41),(λπε这个电势函数是积分形式，虽然计算机可以进行积分运算，但是计算积分的效率远远不如进行初等表达式的运算的效率。

为了提升计算效率，所以我们需要对这个积分化简。

经化简得 L l e y x l x l Ly x U 02220)))((2((log 4),(=+-+-=πελ 输入化简后的函数，进行电场模拟，就可以得到线电荷产生的电场分布图像。

由图像上可以观察到在线电荷的表面的电场线与电荷线垂直，并且可以看到，如果把视野放大，有限长线电荷的模型也将回归点电荷的模型。

另一方面，多个点电荷用“点汇成线”的方式也可以模拟出线电荷模型，这说明了在模拟场的时候，可以不需要对带电场源进行精确无误的微分和积分运算，把有限个基本元聚集成带电场源也是一种可行的方式。

虽然这一种模拟方式较为粗糙，但是在一定的精度范围内，还是可以得到可靠地结论。

2.2.5 带电平行板：假设平板为长方形，长为A ，宽为B ，均匀带电。

由2.1给出了一般情况下电势函数的积分公式' |r -r | )r (41)(,,0dS r U S e ⎰⎰=σπε dudv yv z u x z y x U B Ae⎰⎰+-+-=222)()(41),,(σπε但是，由于这个积分计算过于复杂，如果不经过化简交给计算机模拟，需要运行太久时间。

而积分本身不容易找出原函数。

因此，我们改用“线汇成面”的方式模拟带电平板产生的电场，即用有限条密布的线电荷替代带电平板，下面我们针对带异种电荷的平行板的结果进行讨论。

上图为平行板从中间剖视截面。

从模拟作图的结果可以看出，在均匀的带异种电荷的平行板间，电场接近匀强的，在与带电板接近的地方电场强度偏大（由于等势面过于密集，绘图时软件无法画出）。

实际上，这个模型与与电容器模型很类似，当这个带电板很大时（A,B>>d ），两板之间的电场就可以认为是匀强电场。

2.2.6 一般情况对于不规则带电体产生的电场分布，我们可以从2.1给出的积分公式出发，计算出电势函数U ，进而求出电场强度E 。

由于目前的计算机硬件和软件的数值计算性能有限，模拟前化简积分函数可以使模拟过程加快，使模拟结果更加精确。

对于不规则带电体，可以尽量把它划分为若干个规则带电体，利用电场的叠加原理，得出实际的电场分布。

例如，分析L 型线电荷的电场分布时，可以视为两个直线段电荷的合成。

2.3 小结一个带电体，用微观的角度观察，则可以认为是许许多多的点电荷聚集而成的，只要求出每一个点电荷产生的电场分布，然后把许许多多点电荷电场进行叠加，就可以得到实际电场。

在做计算机模拟的时候，无限细分出微电量的点电荷，用积分方式求解。

在积分公式较为复杂时，会受到计算机硬件和软件的限制，不能高效地得出结论。

对于对称性较好的情况，可以利用高斯定理和环路定理先进行数学推导，再通过计算机模拟；对于一些特殊情况，例如点电荷分布在一个维度上，可以通过数学手段分析具体情况，把电场分布函数转化为一些容易用计算机实现的方程或函数[4]；对于无规则形状的带电体，如果不要求很高的模拟精度，可以只把带电体划分为有限个点电荷，近似模拟出电场分布，这种做法可以视为“粗糙的微分”。

不过，对于复杂形状的带电体，用有限个基本元替换无限个基本元的方法不失为一种实用有效的方法。

3 描绘磁场分布3.1通电系统的磁场分布由比奥-萨法尔定律[5]可知，电流元在点P 的磁场为304r r l Id B d⨯=πμ （3.1.1）其中16701026.1104---⋅⨯≈⨯=m H πμ。

利用这个电流元磁场公式和磁场的叠加原理，我们可以对空间中所有的电流元进行计算，得出所有微元磁场，利用微积分工具就可以求解得到全空间的磁场分布。

3.2 计算机模拟电场分布3.2.1 无限长平行载流直导线无限长载流直导线周围的磁场0002sin 4r Id r I B B πμθθπμπ===⎰⎰，方向与直导线方向垂直。

类似于点电荷系的模拟情况，无限长平行载流直导线的周围磁场也体现出：在微观上的若干短小电流产生的磁场总和，即为实际磁场；在宏观上等价为，一根电流为∑==Ni iI I 1的通电直导线产生的磁场。

与电场相同，这种性质一样是来源于叠加原理，利用这种性质，我们采取相似的手段模拟磁场。

3.2.2 载流线圈 [6]载流线圈是磁学中的一个很基本的单位元，如同电学中的点偶极子，通过模拟载流线圈周围的磁场分布，我们可以进一步了解它们的相似性。

把式（3.1.1）写成三维分量形式有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===ϕπϕμϕπϕμϕπϕμd r y R IR dB d r IRz dB d r IRz dB z y x 3030304)sin (4sin 4cos （3.2.1）积分后得到⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-++-=-++==-++=⎰⎰⎰--222/32220222/3222002/32220)sin 2(sin 2)sin 2(sin 20)sin 2(cos 2πππππϕϕϕπμϕϕϕπμϕϕϕπμd Ry z y R y R IRz B d Ry z y R IRz B d Ry z y R IRz B z y x （3.2.2）经过多次积分换元法可以得到 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++-++++=])(4[])(4[)()(2])(4[])(4[)()(2222222222220222222222220z y R Ry K z y R Ry E z y R z y R z y R I B z y R Ry K z y R Ry E z y R z y R z y R y Iz B z y πμπμ （3.2.3） 其中ϕϕπd k k K ⎰-=2022sin 11][和ϕϕπd k k E ⎰-=2022sin 1][分别为第一类、第二类椭圆积分。