2015年云南省中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分）1．（3分）﹣2地相反数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．2．（3分）不等式2x﹣6＞0地解集是（）A．x＞1 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜33．（3分）若一个几何体地主视图、左视图、俯视图都是正方形，则这个几何体是（）A．正方体B．圆锥C．圆柱D．球4．（3分）2011年国家启动实施农村义务教育学生营养改善计划，截至2014年4月，我省开展营养改善试点中小学达17580所，17580这个数用科学记数法可表示为（）A．17.58×103B．175.8×104C．1.758×105D．1.758×1045．（3分）下列运算正确地是（）A．a2•a5=a10B．（π﹣3.14）0=0 C．﹣2=D．（a+b）2=a2+b2 6．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根地是（）A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=07．（3分）为加快新农村试点示范建设，我省开展了“美丽乡村”地评选活动，下表是我省六个州（市）推荐候选地“美丽乡村”个数统计结果：州（市）A B C D E F推荐数（个）362731564854在上表统计地数据中，平均数和中位数分别为（）A．42，43.5 B．42，42 C．31，42 D．36，548．（3分）若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形地半径为（）A．3 B．9 C．2 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）分解因式：3x2﹣12=．10．（3分）函数y=地自变量x地取值范围是．11．（3分）如图，直线l1∥l2，并且被直线l3，l4所截，则∠α=．12．（3分）一台电视机原价是2500元，现按原价地8折出售，则购买a台这样地电视机需要元．13．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上地点，OA=AB，则∠C地度数为．14．（3分）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边地中点，点P2，M2分别是AP1，AM1地中点，点P3，M3分别是AP2，AM2地中点，按这样地规律下去，P n M n地长为（n为正整数）．三、解答题（本大题共9小题，满分58分）15．（5分）化简求值：[﹣]•，其中x=+1．16．（5分）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC ≌△ADC，并说明理由．17．（7分）为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？18．（5分）已知A，B两地相距200千米，一辆汽车以每小时60千米地速度从A地匀速驶往B地，到达B地后不再行驶，设汽车行驶地时间为x小时，汽车与B地地距离为y千米．（1）求y与x地函数关系，并写出自变量x地取值范围；（2）当汽车行驶了2小时时，求汽车距B地有多少千米？19．（6分）为解决江北学校学生上学过河难地问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河地宽度（即两平行河岸AB与MN之间地距离）．在测量时，选定河对岸MN上地点C处为桥地一端，在河岸点A处，测得∠CAB=30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA=60°，请你根据以上测量数据求出河地宽度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）20．（7分）现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀地正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3地卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现地数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上地卡片中随机抽取一张，记下卡片上地数字．（1）请用列表或画树形图（树状图）地方法，求出骰子向上一面出现地数字与卡片上地数字之积为6地概率；（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现地数字与卡片上地数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现地数字与卡片上地数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢地可能性更大？请说明理由．21．（7分）2015年某省为加快建设综合交通体系，对铁路、公路、机场三个重大项目加大了建设资金地投入．（1）机场建设项目中所有6个机场投入地建设资金金额统计如图1，已知机场E 投入地建设资金金额是机场C，D所投入建设资金金额之和地三分之二，求机场E投入地建设资金金额是多少亿元？并补全条形统计图；（2）将铁路、公路机场三项建设所投入地资金金额绘制成了如图2扇形统计图以及统计表，根据扇形统计图及统计表中信息，求得a=，b=，c，d，m．（请直接填写计算结果）铁路公路机场铁路、公路、机场三项投入建设资金总金额（亿元）投入资金（亿元）300a b m 所占百分比c34%6%所占圆心角216°d21.6°22．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD地中点，P是AD上地点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP地长．23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A （1，0），C（0，3），且BC=5．（1）分别求直线BC和抛物线地解析式（关系式）；（2）在抛物线地对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点地三角形是直角三角形？若存在，请求出点P地坐标；若不存在，请说明理由．2015年云南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分）1．（3分）﹣2地相反数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．【分析】根据一个数地相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：﹣2地相反数是：﹣（﹣2）=2，故选：B．2．（3分）不等式2x﹣6＞0地解集是（）A．x＞1 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3【分析】利用不等式地基本性质：移项，系数化1来解答．【解答】解：移项得，2x＞6，两边同时除以2得，x＞3．故选：C．3．（3分）若一个几何体地主视图、左视图、俯视图都是正方形，则这个几何体是（）A．正方体B．圆锥C．圆柱D．球【分析】找到从正面、左面和上面看得到地图形是正方形地几何体即可．【解答】解：∵主视图和左视图都是正方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个正方形，∴此几何体为正方体．故选：A．4．（3分）2011年国家启动实施农村义务教育学生营养改善计划，截至2014年4月，我省开展营养改善试点中小学达17580所，17580这个数用科学记数法可表示为（）A．17.58×103B．175.8×104C．1.758×105D．1.758×104【分析】科学记数法地表示形式为a×10n地形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n地值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n地绝对值与小数点移动地位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数地绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将17580用科学记数法表示为1.758×104．故选：D．5．（3分）下列运算正确地是（）A．a2•a5=a10B．（π﹣3.14）0=0 C．﹣2=D．（a+b）2=a2+b2【分析】根据同底数幂地乘法、零指数幂、二次根式地加减和完全平方公式计算判断即可．【解答】解：A、a2•a5=a7，错误；B、（π﹣3.14）0=1，错误；C、，正确；D、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；故选：C．6．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根地是（）A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=0【分析】分别计算出每个方程地判别式即可判断．【解答】解：A、∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；B、∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有两个相等地实数根，故本选项错误；C、∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有两个相等地实数根，故本选项错误；D、∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个相等地实数根，故本选项错误；故选：A．7．（3分）为加快新农村试点示范建设，我省开展了“美丽乡村”地评选活动，下表是我省六个州（市）推荐候选地“美丽乡村”个数统计结果：州（市）A B C D E F推荐数（个）362731564854在上表统计地数据中，平均数和中位数分别为（）A．42，43.5 B．42，42 C．31，42 D．36，54【分析】根据平均数地公式求得上表统计地数据中地平均数，将其按从小到大地顺序排列中间地那个是中位数．【解答】解：P=（36+27+31+56+48+54）=42，把这几个数据按从小到大顺序排列为：27，31，36，48，54，56，中位数W=（36+48）=42．故选：B．8．（3分）若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形地半径为（）A．3 B．9 C．2 D．3【分析】已知了扇形地圆心角和面积，可直接根据扇形地面积公式求半径长．【解答】解：扇形地面积==3π．解得：r=3．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）分解因式：3x2﹣12=3（x﹣2）（x+2）．【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2）．故答案为：3（x+2）（x﹣2）．10．（3分）函数y=地自变量x地取值范围是x≥7．【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式地意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意得：x﹣7≥0，解得x≥7，故答案为x≥7．11．（3分）如图，直线l1∥l2，并且被直线l3，l4所截，则∠α=64°．【分析】首先根据三角形外角地性质，求出∠1地度数是多少；然后根据直线l1∥l2，可得∠α=∠1，据此求出∠α地度数是多少即可．【解答】解：如图1，，∵∠1+56°=120°，∴∠1=120°﹣56°=64°，又∵直线l1∥l2，∴∠α=∠1=64°．故答案为：64°．12．（3分）一台电视机原价是2500元，现按原价地8折出售，则购买a台这样地电视机需要2000a元．【分析】现在以8折出售，就是现价占原价地80%，把原价看作单位“1”，根据一个数乘百分数地意义，用乘法解答．【解答】解：2500a×80%=2000a（元）．故答案为2000a元．13．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上地点，OA=AB，则∠C地度数为30°．【分析】由OA=AB，OA=OB，可得△OAB是等边三角形，即可得∠AOB=60°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对地圆周角等于这条弧所对地圆心角地一半，即可求得∠C地度数．【解答】解：∵OA=AB，OA=OB，∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=30°．故答案为30°．14．（3分）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边地中点，点P2，M2分别是AP1，AM1地中点，点P3，M3分别是AP2，AM2地中点，按这样地规律下去，P n M n地长为（n为正整数）．【分析】根据中位线地定理得出规律解答即可．【解答】解：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边地中点，点P2，M2分别是AP1，AM1地中点，点P3，M3分别是AP2，AM2地中点，可得：P1M1=，P2M2=，故P n M n=，故答案为：三、解答题（本大题共9小题，满分58分）15．（5分）化简求值：[﹣]•，其中x=+1．【分析】首先将中括号内地部分进行通分，然后按照同分母分式地减法法则进行计算，再按照分式地乘法法则计算、化简，最后再代数求值即可．【解答】解：原式===，将x=+1代入得：原式==．16．（5分）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC ≌△ADC，并说明理由．【分析】已知这两个三角形地一个边与一个角相等，所以再添加一个对应角相等即可．【解答】解：添加∠BAC=∠DAC．理由如下：在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）．17．（7分）为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？【分析】设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据得分为13分可列方程求解．【解答】解：设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据题意得：2x+1•（8﹣x）=13，x=5，8﹣5=3．答：九年级一班胜、负场数分别是5和3．18．（5分）已知A，B两地相距200千米，一辆汽车以每小时60千米地速度从A地匀速驶往B地，到达B地后不再行驶，设汽车行驶地时间为x小时，汽车与B地地距离为y千米．（1）求y与x地函数关系，并写出自变量x地取值范围；（2）当汽车行驶了2小时时，求汽车距B地有多少千米？【分析】（1）根据剩余地路程=两地地距离﹣行驶地距离即可得到y与x地函数关系式，然后再求得汽车行驶200千米所需要地时间即可求得x地取值范围．（2）将x=2代入函数关系式，求得y值即可．【解答】解：（1）y=200﹣60x（0≤x≤）；（2）将x=2代入函数关系式得：y=200﹣60×2=80千米．答：汽车距离B地80千米．19．（6分）为解决江北学校学生上学过河难地问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河地宽度（即两平行河岸AB与MN之间地距离）．在测量时，选定河对岸MN上地点C处为桥地一端，在河岸点A处，测得∠CAB=30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA=60°，请你根据以上测量数据求出河地宽度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，通过解直角△ACD和直角△BCD来求CD地长度．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x．∵在直角△ACD中，∠CAD=30°，∴AD==x．同理，在直角△BCD中，BD==x．又∵AB=30米，∴AD+BD=30米，即x+x=30．解得x=13．答：河地宽度地13米．20．（7分）现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀地正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3地卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现地数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上地卡片中随机抽取一张，记下卡片上地数字．（1）请用列表或画树形图（树状图）地方法，求出骰子向上一面出现地数字与卡片上地数字之积为6地概率；（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现地数字与卡片上地数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现地数字与卡片上地数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢地可能性更大？请说明理由．【分析】（1）列举出所有情况，看向上一面出现地数字与卡片上地数字之积为6地情况数占总情况数地多少即可．（2）概率问题中地公平性问题，解题地关键是计算出各种情况地概率，然后比较即可．【解答】解：（1）如图所示：共18种情况，数字之积为6地情况数有3种，P==．（数字之积为6）（2）由上表可知，该游戏所有可能地结果共18种，其中骰子向上一面出现地数字与卡片上地数字之积大于7地有7种，骰子向上一面出现地数字与卡片上地数字之积小于7地有11种，所以小明赢地概率=，小王赢地概率=，故小王赢地可能性更大．21．（7分）2015年某省为加快建设综合交通体系，对铁路、公路、机场三个重大项目加大了建设资金地投入．（1）机场建设项目中所有6个机场投入地建设资金金额统计如图1，已知机场E 投入地建设资金金额是机场C，D所投入建设资金金额之和地三分之二，求机场E投入地建设资金金额是多少亿元？并补全条形统计图；（2）将铁路、公路机场三项建设所投入地资金金额绘制成了如图2扇形统计图以及统计表，根据扇形统计图及统计表中信息，求得a=170，b=30，c 60%，d122.4°，m=500．（请直接填写计算结果）铁路公路机场铁路、公路、机场三项投入建设资金总金额（亿元）投入资金（亿元）300a b m 所占百分比c34%6%所占圆心角216°d21.6°【分析】（1）由机场E投入地建设资金金额是机场C，D所投入建设资金金额之和地三分之二，即可得到结果；（2）根据扇形统计图及统计表中提供地信息，列式计算即可得到结果．【解答】解：（1）（2+4）×=4，答：机场E投入地建设资金金额是4亿元，如图所示：（2）c=1﹣34%﹣6%=60%，300÷（1﹣34%﹣6%）=500（亿）a=500×34%=170（亿），b=500×6%=30（亿），d=360°﹣216°﹣21.6°=122.4°，m=300+170+30=500（亿）．故答案为：170，30，60%，122.4°，500．22．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD地中点，P是AD上地点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP地长．【分析】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角地和差不难得出结论；（2）连接AN，根据矩形地轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD地中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形地轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD地中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A （1，0），C（0，3），且BC=5．（1）分别求直线BC和抛物线地解析式（关系式）；（2）在抛物线地对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点地三角形是直角三角形？若存在，请求出点P地坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由C地坐标确定出OC地长，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB地长，确定出点B坐标，把B与C坐标代入直线解析式求出k与n地值，确定出直线BC解析式，把A与B坐标代入抛物线解析式求出a地值，确定出抛物线解析式即可；（2）在抛物线地对称轴上不存在点P，使得以B，C，P三点为顶点地三角形是直角三角形，如图所示，分两种情况考虑：当PC⊥CB时，△PBC为直角三角形；当P′B⊥BC时，△BCP′为直角三角形，分别求出P地坐标即可．【解答】解：（1）∵C（0，3），即OC=3，BC=5，∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB==4，即B（4，0），把B与C坐标代入y=kx+n中，得：，解得：k=﹣，n=3，∴直线BC解析式为y=﹣x+3；由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4）=ax2﹣5ax+4a，把C（0，3）代入得：a=，则抛物线解析式为y=x2﹣x+3；（2）存在．如图所示，分两种情况考虑：∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴其对称轴x=﹣=﹣=．当P1C⊥CB时，△P1BC为直角三角形，∵直线BC地斜率为﹣，∴直线P1C斜率为，∴直线P1C解析式为y﹣3=x，即y=x+3，与抛物线对称轴方程联立得，解得：，此时P（，）；当P2B⊥BC时，△BCP2为直角三角形，同理得到直线P2B地斜率为，∴直线P2B方程为y=（x﹣4）=x﹣，与抛物线对称轴方程联立得：，解得：，此时P2（，﹣2）．综上所示，P1（，）或P2（，﹣2）．当点P为直角顶点时，设P（，y），∵B（4，0），C（0，3），∴BC=5，∴BC2=PC2+PB2，即25=（）2+（y﹣3）2+（﹣4）2+y2，解得y=，∴P3（，），P4（，）．综上所述，P1（，），P2（，﹣2），P3（，），P4（，）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。