2017年高考理科数学（全国卷1）试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则（ ）A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．π8 C ．12 D ．π43．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ）A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n －2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)， 则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂. 那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= ___ .14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 ____ .15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点. 若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O . D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥. 当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值.19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅． 用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=0.09≈．20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2）， P 4（1C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.21.（12分）已知函数f (x )＝ae 2x +(a ﹣2) e x ﹣x .（1）讨论f (x )的单调性；（2）若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）＝－x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.答案及解析一、选择题：ABBCD CBDDA DA二、填空题：13.14. 515. 16.17、【解析】（1）S△ABC＝12ab sin C＝a23sin A，得12b sin C＝a3sin A由正弦定理，得 12sin B ·sin C ＝13， 解得sin B ·sin C ＝23. （2）由题知cos(B ＋C )＝cos B ·cos C －sin B ·sin C ＝16－23＝－12，即cos A ＝12，A ＝π3. 由正弦定理，323sin sin sin 32b c a B C A ==== ∴23sin b B =, 23sin c C = 则有223sin 23sin 12sin sin 1283bc B C B C =⋅==⨯= 由余弦定理，得2229a b c bc ==+- ，解得33b c +=∴△ABC 的周长为333+18、【解析】（1）由∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . ∵AB//CD ，∴AB ⊥PD ，又AP ∩PD ＝P ，∴AB ⊥平面P AD ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .（2）记AD 的中点为O ，连接PO ，则有PO ⊥AD ，∵AB ⊥平面P AD ， ∴OP ⊥AB ，又AD ∩AB ＝A ，∴OP ⊥平面ABCD .以O 为原点，分别以OA 、DC 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴建立如右图所示的空间直角坐标系. 不妨假设OA ＝1，于是有A (1，0，0)，B (1，2，0)，C(－1，2，0)，D (－1，0，0)，P (0，0，1).∴(1,0,1)PA =-，(0,2,0)AB =，设1(,,)n x y z =是平面P AB 的一个法向量∴11020n PA x z n AB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩， 得0x z y =⎧⎨=⎩，令x ＝1，得1(1,0,1)n = 同理可求得2(0,1,2)n =是平面PBC 的一个法向量.∴12121223cos ,3||||23n n n n n n ⋅<>===⨯ 由于二面角A -PB -C 是钝二面角，则二面角A -PB -C 的余弦值为33-.19、【解析】（1）由题意知，X ~B (16，0.0026)，∴P (X ≥1)＝1－P(X ＝0)＝1－0.997416＝1－0.9592＝0.0408，X 的数学期望E (X )＝16×0.0026＝0.0416.（2）（i ）由（1）知，出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率为0.0408，如果如此小的概率在一次试验中发生了，有理由相信出现异常情况.（ii ）3=9.970.636=9.334μσ--，3=9.970.636=10.606μσ++，剔除9.22，剔除后，9.97169.2210.0215μ⨯-==，1622210.21216161591.13i i x x ==⨯+=∑， 221591.139.221510.020.0915σ--⨯=≈.20、【解析】（1）由椭圆的对称性可知，P 2，P 3，P 4在椭圆C 上.把P 2(0，1)代入C ，得21=1b ，即b 2＝1，把P 4(1代入C ，得213=14a +，即a 2＝4. ∴ 椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y ＝kx ＋n （n ≠1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立2244x y y kx n⎧+=⎨=+⎩， 得222(14)8440k x knx n +++-= 由韦达定理，得122814kn x x k+=-+，21224414n x x k -=+ 221212121211111P A P B y y kx n kx n k k x x x x --+-+-+=⋅=⋅=-，即1212(21)(1)()0k x x n x x ++-+= 222448(21)(1)01414n kn k n k k -∴+⋅--⋅=++，即(21)(1)(1)2(1)0k n n kn n ∴++---= 由于n ≠1，n －1≠0，得(21)(1)20k n kn ∴++-=，解得21n k =-- ∴直线l 的方程为21y kx k =--，即1(2)y k x +=-，∴l 过定点(2，－1).21、【解析】（1） 由题知，f (x )的定义域为R ，2'()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e =+--=-+，其中210x e +＞恒成立. 若a ≤0，则1x ae -＜0恒成立，'()f x ＜0，则f (x )在R 上单调减； 若a ＞0，令10x ae -＞，解得ln x a -＞；令10x ae -＜，解得ln x a -＜. 即当ln x a -＜时，'()f x ＜0；当ln x a -＞时，'()0f x ＞.∴ f (x )在(,ln )a -∞-上单调减，在(ln )a -+∞，上单调增.（2）若a ≤0，f (x )在R 上单调减，至多只有一个零点，不符，舍去；若a ＞0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞；x →－∞时，f (x )→＋∞.要使f (x )有两个零点，只要min ()(ln )0f x f a =-＜即可 只要2111(2)ln 0a a a a a ⎛⎫⋅+-⋅- ⎪⎝⎭＜即可，即111ln 0a a --＜令10t a=＞，则()1ln g t t t =--在(0，＋∞)上单调减 又(1)0g =，∴当11t a=＞，即0＜a ＜1时，()0g t ＜，(ln )0f a -＜. 即f (x )有两个零点时，a 的取值范围为(0，1).22、【解析】（1）消去参数θ，得曲线C 的普通方程为2299x y +=.当a ＝－1时，消去参数t ，得直线l 的普通方程为43x y +=.联立229943x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得1130x y =⎧⎨=⎩，2221252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴C 与l 的交点坐标为(3，0)和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（2）设曲线C 上任意一点P ()3cos sin θθ，， 消去参数t ，得直线l 的普通方程为4(4)0x y a +-+=.∴点P 到直线l的距离d =由题知，max d max |5sin()(4)|17a θϕ+-+=当a ＋4＞0时，则有5(4)17a --+=-，解得8a =；当a ＋4≤0时，则有5(4)17a -+=，解得16a =-；综上，a 的值为8或－16.23、【解析】（1）当a ＝1时，2()4f x x x =-++，又21()21121x x g x x x x --⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，当x ＜－1时，242x x x -++≥-，解得14x -≤≤，舍去当－1≤x ≤1时，242x x -++≥，解得12x -≤≤，即11x -≤≤当x ≥1时，242x x x -++≥x ≤≤，即1x ≤≤综上，不等式()()f x g x ≥的解集为1⎡-⎢⎣⎦.（2）当－1≤x ≤1时，()2g x =. 要使不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]， 只要()()f x g x ≥在[–1，1]上恒成立，只要242x ax -++≥在[–1，1]上恒成立法一：数形结合法只要220x ax --≤在[–1，1]上恒成立，令2()2g x x ax =--只要(1)0(1)0g g ≤⎧⎨-≤⎩，即120120a a +-≤⎧⎨--≤⎩，解得11a -≤≤，即a 的取值范围为[]11-，.法二：参数分离法只要22ax x ≥- ①在[–1，1]上恒成立，令2()h x x x=- 当x ＝0时，不等式①显然恒成立；当0＜x ≤1时，只要2a x x≥-在(0，1]上恒成立，由于()h x 在(0，1]上单调增∴max ()(1)121h x h ==-=-，1a ≥-.当－1≤x ＜0时，只要2a x x≤-在[－1，0)上恒成立，由于()h x 在[－1，0)上单调增∴min ()(1)121h x h =-=-+=，1a ≤. 综上所述，a 的取值范围为[]11-，.。