专题一 函数的概念、图象与性质[小题提速练][明晰考情] 1.命题角度：以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题.2.题目难度：中档难度.考点一 函数及其表示要点重组 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同.(2)对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则. 1.函数y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 答案 C解析 函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12.所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12. 2.(2017·山东)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a 等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 C解析 若0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得a ＝2(a ＋1－1)，∴a ＝14，∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解. 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6. 故选C.3.若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是__________.答案 [0，1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，得0≤x ＜1，∴函数g (x )的定义域为[0，1).4.函数f (x )＝2a x －2 017a x ＋1(a ＞0且a ≠1)的值域为______.答案 (－2 017，2)解析 f (x )＝2a x －2 017a x ＋1＝2(a x ＋1)－2 019a x ＋1＝2－2 019a x ＋1，因为a x ＞0，所以a x ＋1＞1，所以0＜2 019a x ＋1＜2 019，所以－2 017＜2－2 019a x ＋1＜2，故函数f (x )的值域为(－2 017，2). 考点二 函数的图象及应用方法技巧 (1)函数图象的判断方法①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到.(2)利用图象可确定函数的性质、方程与不等式的解等问题. 5. 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致形状为( )答案 A解析 ∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1·sin x ，∴f (－x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e －x －1·sin(－x )＝－⎝⎛⎭⎫2e x1＋e x －1sin x ＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x ). ∴函数f (x )为偶函数，故排除C ，D ，当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1·sin 2<0，故排除B ，只有A 符合.6.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值 答案 C解析 画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点.由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x ).综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值. 7.函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________. 答案 8解析 如图，两个函数图象都关于点(1，0)成中心对称，两个图象在[－2，4]上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2.故所有交点的横坐标之和为8.8.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎭⎫ 32e ，1 解析 设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题意知存在唯一的整数x 0使得g (x 0)在直线h (x )＝ax －a 的下方，如图.∵g ′(x )＝e x (2x －1)＋2e x ＝e x (2x ＋1)，∴当x ＜－12时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，当x >－12时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，∴当x ＝－12时，g (x )取最小值122e -－，当x ＝0时，g (x )＝－1，当x ＝1时，g (x )＝e ＞0， 直线h (x )＝ax －a 恒过定点(1，0)且斜率为a ， 故－a ＞g (0)＝－1且g ()－1＝－3e －1≥－a －a ， 解得32e≤a ＜1.考点三 函数的性质与应用要点重组 (1)利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.(2)函数单调性的应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.(3)函数周期性的常用结论：若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )，则2a 是函数f (x )的周期. 9.已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( ) A.－2 B.－1 C.0 D.2 答案 D解析 当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1且当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.10.设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当x ∈[2，3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2，0]时，f (x )＝__________. 答案 3－|x ＋1| 解析 f (x )的周期T ＝2， 当x ∈[0，1]时，x ＋2∈[2，3]， ∴f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2. 又f (x )为偶函数，∴当x ∈[－1，0]时，－x ∈[0，1]，f (－x )＝－x ＋2， ∴f (x )＝－x ＋2；当x ∈[－2，－1]时，x ＋2∈[0，1]， f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋4.综上，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝3－|x ＋1|.11.已知偶函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝13x ＋sin x .设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________.(用“<”连接) 答案 c <a <b解析 因为函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2为偶函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫－x ＋π2＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，即函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，即f (x )＝f (π－x ).又因为当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝13x ＋sin x ， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上单调递减，因为2<π－1<3，所以f (2)>f (π－1)＝f (1)>f (3)，即c <a <b .12.已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列四个命题：①若f (1＋2x )＝f (1－2x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ④若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称. 其中正确命题的序号为________. 答案 ①②④解析 对于①，1＋2x ＋1－2x2＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t ＝x －2，则问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0，即x ＝2对称，故②正确；对于③，由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z )对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；对于④，由于函数f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于－x ＋x ＋22＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故④正确.1.已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( ) A.(－2，0) B.(－2，2) C.(0，2) D.⎝⎛⎭⎫－12，0 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x 2＜1，－1＜x －1＜1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜2，0＜x ＜2，故0＜x ＜2.故选C.2.已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A.(－1，1) B.(0，1)C.(－1，0)∪(0，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |＜1，x ≠0.∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 016x ，x ＞1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c的取值范围是( ) A.(1，2 016) B.[1，2 016] C.(2，2 017) D.[2，2 017]答案 C解析 在平面直角坐标系中画出f (x )的图象，如图所示.设a ＜b ＜c ，要满足存在互不相等的a ，b ，c ，使f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ，b 关于直线x ＝12对称，可得a ＋b ＝1，1＜c ＜2 016，故a ＋b＋c 的取值范围是(2，2 017).解题秘籍 (1)从映射的观点理解抽象函数的定义域，如函数y ＝f (g (x ))中，若函数y ＝f (x )的定义域为A ，则有g (x )∈A .(2)利用函数的性质求函数值时，要灵活应用性质对函数值进行转换. (3)解题中要利用数形结合的思想，将函数图象、性质有机结合.1.函数f (x )＝3x 21－x ＋lg (3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.[0，1)答案 D解析 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧lg (3x ＋1)≥0，3x ＋1＞0，1－x ＞0，即0≤x ＜1.故函数的定义域为[0，1)，故选D.2.(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]答案 D解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x ). ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1). 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3，故选D.3.(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )答案 B解析 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项.当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e ＞0，排除D 选项.又e ＞2，∴1e ＜12，∴e －1e ＞32，排除C 选项.故选B.4.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a .因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 5.已知函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，且g (x )≠0，设p ：函数f (x )＝g (x )⎝⎛⎭⎫11－2x －12是偶函数；q ：函数g (x )是奇函数，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析 令h (x )＝11－2x －12(x ≠0)，易得h (x )＋h (－x )＝0，则h (x )为奇函数，又g (x )是奇函数，所以f (x )为偶函数；反过来也成立.因此p 是q 的充要条件. 6.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数.记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.c ＜b ＜a答案 C解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数，得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1. 当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝2x －1单调递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0＜log 23＜log 25， 则f (0)＜f (log 23)＜f (log 25)， 即c ＜a ＜b ，故选C.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，ax ＋1，x ≤0，若f (4)＝3，则f (x )>0的解集为( )A.{x |x >－1}B.{x |－1<x ≤0}C.{x |x >－1且x ≠0}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x ≤0或x >12 答案 D解析 因为f (4)＝2＋a ＝3，所以a ＝1.所以不等式f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＋1>0，即x >12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1>0，即－1<x ≤0，所以f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x ≤0或x >12. 8.已知函数f (x ＋2)(x ∈R )为奇函数，且函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x2 018，则f (2 018)等于( ) A.2 018B.12 018C.11 009D.0答案 D 解析 由题意知，f (x ＋2)＝－f (－x ＋2)，∴f (x )＝－f (－x ＋4)，又f (x )＝f (－x ＋2)，∴－f (－x ＋4)＝f (－x ＋2)，∴－f (－x ＋2)＝f (－x )，∴f (－x ＋4)＝f (－x )，∴f (x )的周期为4，故f (2 018)＝f (2 016＋2)＝f (2)＝f (0)＝0.9.已知函数f (x )＝x 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π＋12，则∑2 018k ＝1f ⎝⎛⎭⎫k 2 019＝________. 答案 1 009解析 由所给函数知，f (x )＋f (1－x )＝x 2x －1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＋12＋1－x 2(1－x )－1＋ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x －π＋12＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＋12＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π－12＝1， 所以∑2 018k ＝1f ⎝⎛⎭⎫k 2 019＝2 0182＝1 009. 10.(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0，0＜x ≤12，x ＞12三段讨论. 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1， 解得x ＞－14， ∴－14＜x ≤0. 当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立. 当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立. 综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞.11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为______________________.答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 当a >0时，a 2＋a －[－3(－a )]>0⇒a 2－2a >0⇒a >2；当a ＜0时，－3a －[(－a )2＋(－a )]<0⇒a 2＋2a >0⇒a <－2.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).12.能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________.(填序号)①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2； ④f (x )＝4x 3＋x .答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中，f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，f (x )的定义域为(－5，5)，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x 为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，f (x )的定义域为{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )的定义域为R ，f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以②③④中的函数都是“和谐函数”.。