第三章 数列第一教时教材：数列、数列的通项公式目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。

过程：一、从实例引入（P110）1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102． 正整数的倒数 51,41,31,21,1 3． ，，，，的不足近似值，，精确到414.141.14.11001.01.0124． -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…二、提出课题：数列1． 数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）2． 名称：项，序号，一般公式n a a a ,,,21 ，表示法{}n a3． 通项公式：n a 与n 之间的函数关系式如 数列1： 3+=n a n 数列2：na n 1=数列4：*,)1(N n a n n ∈-= 4． 分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。

5． 实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n }）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。

6． 用图象表示：— 是一群孤立的点例一 （P111 例一 略）三、关于数列的通项公式1． 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）2． 数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 n n a )1(-=和⎩⎨⎧-=11n a *,2*,12N k k n N k k n ∈=∈-= 3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二 （P111 例二）略四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：1．1，0，1， 0 *,2)1(11N n a n n ∈-+=+ 2．32-，83，154-，245，356- 1)1(1)1(2-++⋅-=n n a n n 3．7，77，777，7777 )110(97-⨯=n n a 4．-1，7，-13，19，-25，31 )56()1(--=n a n n5．23，45，169，25617 12212-+=n n n a 五、小结：1． 数列的有关概念2． 观察法求数列的通项公式六、作业： 练习 P112 习题 3．1（P114）1、2《课课练》中例题推荐2 练习 7、8第二教时教材：数列的递推关系目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n 项。

过程：一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）二、例一：若记数列{}n a 的前n 项之和为S n 试证明：⎩⎨⎧-=-11S S S a n n n )1()2(=≥n n 证：显然1=n 时 ，11S a =当1≠n 即2≥n 时 n n a a a S +++= 211211--+++=n n a a a S∴ n n n a S S =--1 ∴⎩⎨⎧-=-11S S S a n n n )1()2(=≥n n 注意：1︒ 此法可作为常用公式2︒ 当)(11S a =时 满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a例二：已知数列{}n a 的前n 项和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。

解：1．当1=n 时，111==S a当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n经检验 1=n 时 11=a 也适合 34-=n a n2．当1=n 时，311==S a当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(122=-----++=∴ ⎩⎨⎧=n a n 23 )2()1(≥=n n 三、递推公式 （见课本P112-113 略）以上一教时钢管的例子 3+=n a n从另一个角度，可以： 1411+==-n n a a a )2()1(≥=n n“递推公式”定义：已知数列{}n a 的第一项，且任一项n a 与它的前 一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的递推公式。

例三 （P113 例三）略例四 已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ．解一：可以写出：21=a ，22-=a ，63-=a ，104-=a ，…… 观察可得：)1(42)4)(1(2--=--+=n n n a n解二：由题设： 41-=-+n n a a∴44432211-=--=--=------n n n n n n a a a a a a )+412-=-a a)1(41--=-n a a n∴ )1(42--=n a n例五 已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ．解一：21=a 22222=⨯=a 323222=⨯=a观察可得： n n a 2=解二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即21=-n n a a ∴ 112322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a a a a a a a a ∴ n n n a a 2211=⋅=-四、小结： 由数列和求通项递推公式 （简单阶差、阶商法）五、作业：P114 习题3．1 3、4《课课练》 P116-118 课时2中 例题推荐 1、2课时练习 6、7、8第三教时教材：等差数列（一）目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。

过程：一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……3，0，-3，-6，……21，102，103，104，…… )1(312--=n a n 12，9，6，3，……特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”二、得出等差数列的定义： （见P115）注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．．。

1．名称：AP 首项 )(1a 公差 )(d2．若0=d 则该数列为常数列3．寻求等差数列的通项公式：da d d a d a a d a d d a d a a da a 3)2(2)(1134112312+=++=+=+=++=+=+= 由此归纳为 d n a a n )1(1-+= 当1=n 时 11a a = （成立）注意: 1︒ 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数2︒ 如果通项公式是关于n 的一次函数，则该数列成AP证明：若A n B A B A n A B An a n )1()()1(-++=++-=+=它是以B A +为首项，A 为公差的AP 。

3︒ 公式中若 0>d 则数列递增，0<d 则数列递减4︒ 图象： 一条直线上的一群孤立点三、例题： 注意在d n a a n )1(1-+=中n ，n a ，1a ，d 四数中已知三个可以求 出另一个。

例一 （P115例一）例二 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数例三 （P116例三） 此题可以看成应用题四、关于等差中项： 如果b A a ,,成AP 则2b a A += 证明：设公差为d ，则d a A += d a b 2+=∴A d a d a a b a =+=++=+222 例四 《教学与测试》P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数c b a ,,使这五个数成AP ，求此数列。

解一：∵AP c b a 成7,,,,1- ∴b 是-1与7 的等差中项∴ 3271=+-=b a 又是-1与3的等差中项 ∴1231=+-=a c 又是1与7的等差中项 ∴5273=+=c 解二：设11-=a 75=a ∴d )15(17-+-= 2=⇒d∴所求的数列为-1，1，3，5，7五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项六、作业： P118 习题3．2 1-9第四教时教材：等差数列（二）目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。

过程：一、复习：等差数列的定义，通项公式二、例一 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N q p n m ,,,且q p n m +=+求证：1︒ q p n m a a a a +=+ 2︒ d q p a a q p )(-+=证明：1︒ 设首项为1a ，则dq p a d q a d p a a a dn m a d n a d m a a a q p n m )2(2)1()1()2(2)1()1(111111-++=-++-+=+-++=-++-+=+ ∵q p n m +=+ ∴q p n m a a a a +=+ 2︒ ∵d p a a p )1(1-+=d p a d q p d q a d q p a q )1()()1()(11-+=-+-+=-+∴ d q p a a q p )(-+=注意：由此可以证明一个定理：设成AP ，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ，即：=+=+=+--23121n n n a a a a a a同样：若p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ 例二 在等差数列{}n a 中，1︒ 若a a =5 b a =10 求15a解：155102a a a += 即152a a b += ∴ a b a -=2152︒ 若m a a =+83 求 65a a +解：65a a +=m a a =+833︒ 若 65=a 158=a 求14a解：d a a )58(58-+= 即 d 3615+= ∴ 3=d从而 33396)514(514=⨯+=-+=d a a4︒ 若 30521=+++a a a 801076=+++a a a 求151211a a a +++解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……∴ 11162a a a += 12272a a a += ……从而)(151211a a a +++ +=+++)(521a a a 2)(1076a a a +++ ∴151211a a a +++ =2)(1076a a a +++ -)(521a a a +++ =2×80-30=130三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法1．定义法：即证明 )(1常数d a a n n =--例三 《课课练》第3课 例三已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 232-=，求证数列{}n a 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：12311=-==S a当2≥n 时56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n1=n 时 亦满足 ∴ 56-=n a n首项11=a )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成AP 且公差为62．中项法： 即利用中项公式，若c a b +=2 则c b a ,,成AP 。