正解 ∵A∪B＝A， ∴B⊆A. ∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}． ①若 B＝∅，则 m＋1>2m－1， 即 m<2，故 m<2 时，A∪B＝A； ②若 B≠∅，如图所示， 则 m＋1≤2m－1，即 m≥2.
由 B⊆A 得－2m2－≤1m≤＋51. ，
解得－3≤m≤3. 又∵m≥2，∴2≤m≤3. 由①②知，当 m≤3 时，A∪B＝A.
存在这样的实数 a，使得 A∪B＝{1，a，a2}与 A∩B
＝{1，a}同时成立？若存在，求出实数 a；若不存在，
请说明理由．
解 假设这样的实数 a 存在，由 A∩B＝{1，a}，知 a2 ＝a， ∴a＝0 或 a＝1. 当 a＝0 时，A∪B 不可能为{1，a，a2}，故 a＝0 不合 题意； 当 a＝1 时，B＝{1，a2}中，a2＝1，与集合中元素的互 异性矛盾， 故 a＝1 也不合题意． 综上可知，满足题设条件的实数 a 不存在．
找准失分点 B⊆A，B 可以为非空集合，B 也可以是空 集．漏掉对 B＝∅的讨论，是本题的一个失分点． 失分原因与防范措施 造成本题失分的根本原因是忽 视了“空集是任何集合的子集”这一性质.当题目中出 现 A B ，A ∩B=A ，A ∪B=B 时，注意对 A 进行分类讨 论，即分为 A= 和 A≠ 两种情况讨论.
Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)>0， －2(a＋1)＝－4， a2－1＝0，
解得 a＝1；
(2)当∅≠B A 时，B＝{0}或 B＝{－4}， 并且 Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0， 解得 a＝－1，此时 B＝{0}满足题意； (3)当 B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0， 解得 a<－1. 综上所述，所求实数 a 的取值范围是 a≤－1 或 a＝1.
失分点 2 忽视集合的三特性致误 例 2 设集合 A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，
若 A∩B＝{9}，则实数 a＝________.
错解 3 或－3
找准失分点 忽视了集合中元素的互异性．
失分原因与防范措施 在求出 a 的值后，没有验证集合
中的元素是否符合要求，是否具有集合元素的特征是导
M 时的 a 的范围，再求其补集.
正解 方法一 ∵5∈M， ∴55aa＋－1205>0 或 5a－25＝0， ∴a<－2 或 a>5 或 a＝5， 故填 a≥5 或 a<－2. 方法二 若 5∈M，则55aa＋－1205≤0， ∴(a＋2)(a－5)≤0 且 a≠5， ∴－2≤a<5， ∴5∈M 时，a<－2 或 a≥5. 故填 a<－2 或 a≥5.
失分原因与防范措施 本题失分率高达 56%，实质
上当
x=5
时，ax10 0
ax 25
不成立，即是对命题
ax10 0 ax 25
的否定.失分的原因就ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于对命题的否定不当.对于
这类形式的命题的否定，一定要注意其否定为 ax10 0
ax 25
或 ax-25=0.当然，就本题而言，也可以先求出 5∈
致本题失分的根本原因.在解决集合中的含参数问题
时，一定要考虑全面，注意用元素的互异性检验所求的
参
.
正解 由 A∩B＝{9}，知 9∈A. ①当 2a－1＝9 时，a＝5，检验不符合要求，舍去； ②当 a2＝9 时，a＝3 或 a＝－3，检验 a＝3 不符合要求． 故 a＝－3.
变式训练 2 设集合 A＝{1,3，a}，B＝{1，a2}，问是否
失分点 4 函数概念不清致误 例 4 已知函数 f(x2－3)＝lgx2x－2 4，求 f(x)的定义域．
错解 由x2x－2 4>0， 得 x>2 或 x<－2. ∴函数 f(x)的定义域为{x|x>2 或 x<－2}． 找准失分点 错把 lgx2x－2 4的定义域当成了 f(x)的定义域．
失分原因与防范措施 失分的原因是将 f(x2-3)与 f(x)的
变式 2∈训M练，3则实已数知a集的合取M值＝范{x围|a是2x－＋_a_x32_－≤a_－_1a_≤1_2_12<_或0_}_，_a_≥若__2．
解析 若 2∈M，则2a2＋2a2－a－1 12<0， 即(2a－1)(a2＋a－6)<0， ∴(2a－1)(a－2)(a＋3)<0， ∴a<－3 或12<a<2， ∴当 2∈M 时，a 的取值范围为： －3≤a≤12或 a≥2. 故填：－3≤a≤12或 a≥2.
失分点 3 对命题的否定不当致误 例3 已知 M 是不等式aaxx＋ －1205≤0 的解集且 5∈M，
则 a 的取值范围是________．
错解 (－∞，－2)∪(5，＋∞)
找准失分点 5∈M，把 x＝5 代入不等式，原不等 式不成立， 有两种情况：①55aa＋ －1205>0；②5a－25＝0，答案中漏 掉了第②种情况．
定义域等同起来了.事实上，f(x2-3)= x 2 与 f(x)是两个
x2 4
不同的函数，它们有不同的法则和定义域，造成错误的 原因是未弄清函数的概念.求函数定义域，首先应弄清函 数的特征或解析式，可避免出错.
正解 由 f(x2－3)＝lgx2x－2 4， 设 x2－3＝t，则 x2＝t＋3， 因此 f(t)＝lgtt＋ －31. ∵x2x－2 4>0，即 x2>4，
集合、函数与导数、不等式
失分点 1 忽视空集致误 例 1 已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋
1≤x≤2m－1}，若 A∪B＝A.求实数 m 的取值范围．
错解 ∵x2－3x－10≤0， ∴－2≤x≤5， ∴A＝{x|－2≤x≤5}． 由 A∪B＝A 知 B⊆A， ∴－2m2－≤1m≤＋51 ，即－3≤m≤3， ∴m 的取值范围是－3≤m≤3.
变式训练 1 设集合 A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2 ＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若 B⊆A，求 实数 a 的取值范围．
解 ∵A＝{0，－4}，∴B⊆A 分以下三种情况： (1)当 B＝A 时，B＝{0，－4}，由此知 0 和－4 是方程 x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0 的两个根，由根与系数之间的 关系，得