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高数课件导数与微分


比值
y x 反映自变量
x0 x0 x 时,函数的
平均变化率; 导数 f ( x0 ) 反映函数在点x0处的瞬时变化率,
即函数随自变量变化而变化的快慢程度;
若函数y = f(x)在区间(a,b)内每一点都可导 ,则称函数y = f(x)在区间(a,b)内可导; 导函数简称导数
求导数的步骤
时,把 y 看成中间变量,按照复合函数
的求导法则先对 y 求导,再对 x 求导。
例 2-31 求由方程 e x xy e y 0 所确定的函 数 y 对自变量 x 的导数 例 2-32 求由方程 y5 2 y x 3x7 0 所确定 的隐函数y 对自变量 x 的导数
例 2-33 求曲线 x 2 y 2 25 上点(3,-4)处
{
(t )与y (t ) 都可导,

(t ) 0 ,则由参数方程所确定的函数(参
y 的导数为 f ( x)
数式函数)
dy dy dt yt (t ) , 或y x dx dx xt (t ) dt
x (1sin ) 例2-37 求参数方程 的导数 y cos
u v u v (2)u*v也是x的可导函数,且 (u v)
(3)u (v 0) 也是x的可导函数,且 ( u ) u v 2 u v (v 0) v v v 1 u 特别 C u ( x) C u( x), ( ) (u 0) u u2
x 2 x , x 1 2 x 3 , x 1
在点x =
左极限=右极限=函数值 左导数=右导数
第二节函数的和、差、积、商求导法则
一、函数的和、差、积、商的导数
定理2-2 (导数的四则运算的法则) 若函数u = u(x),v = v(x)都是 x 的可导函数,则 (1 ) u v u v 也是x的可导函数,且 (u v)
存在,则称其为函数y = f(x)在点x0处的 右导数,记作 f ( x0 ) ,即
f ( x0 ) =
lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y x x
因此,函数y = f(x)在点x0处可导的充要条
件是 左右导数存在且相等,即
f ( x0 ) = f ( x0 )
• 指数函数
(a ) a ln a
x x x (e ) e x
导数的几何意义
• 函数 y = f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 表示曲 线 y = f(x)上点M(x0,f(x0))的切线斜率 k,k = tan = f ( x0 ) • 函数在点M(x0,f(x0))处的切线方程 • 函数在点M(x0,f(x0))的法线方程
二. 曲线的切线问题
与曲线只有一个交点的直线为圆的切线,y=x2 在原点两个坐标轴都符合圆的切线的定义,但在 实际中切线只有一条
导数的定义
定义2-1 设函数 y = f(x)在点x0及其邻域有定 义,当自变量x在点x0处取得增量 x 时,相 应函数y取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) 如果
例2-17 求y = tan x 的导数; 例2-18 求y = sec x 的导数; 例2-19 求函数 例2-20 求函数
y f ( x) 1 cos x 的导数,并求 f ( ) 1 cos x 2
x 1 y 的导数 x 1
第三节 反函数与复合函数的导数
一 反函数的导数
存在,则称其为函数y = f(x)在点x0处的 左导数,记作 f ( x0 ) ,即
f ( x0 ) =
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x x x 0
lim
x 0
• 同样,如果 lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x
导,则复合函数 y f [u( x)] 在点x处可导,且
dy dy du , 或y x yu u x,或 y x f ( u ) ( x ) dx du dx
例2-23 例2-24 例2-25
dy y ln tan x,求 dx
dy y e ,求 dx
结论概括:反函数的导数等于它的原函数导 数的倒数 例2-21 求 y arcsin x 的导数
例2-22 求 y arctan x 的导数
基本初等函数的导数公式
0 (常数的导数等于零) • (C ) • 幂函数 (xa ) axa1 (a R) • 三角函数 (sin x ) cos x
;
• 对数函数
1 (loga x) loga e x 1 (ln x) (a e时) x
• 指数函数
(a ) a ln a
x x
(e ) e
x
x
二 复合函数的导数
定理2-4 (复合函数求导法则) 若函数u ( x)
在点x处可导,函数 y f (u ) 在对应点u处可
第四节 隐函数、幂指函数及参数 式函数的导数
一 隐函数的导数
用自变量x表示y的函数即 y f ( x) ,如y = 3x+1,y = lnx+sinx等,称之为显函数; 函数y与自变量x的关系由方程F(x,y)= 0表 示的函数称为隐函数,如 3x-y+1=0,xy+x+1=0 等。
隐函数的求导法则:方程两边同时对自变 量 x 求导,得到一个含 y 的方程式,从 中解出 y 即可。 注:方程两边对 x 求导,是指遇到 x 时, 可直接求出其导数;遇到 y 或 y 的函数
例 2-9 讨论函数y = f(x) =
x {
x , x 0 x , x 0
在点x=0
处的可导性。
可导与连续的的关系
定理2-1 若函数y = f(x)在点x处可导,则它 在该点处必连续。 若函数y = f(x)在点x处连续,则它在该点处 不一定可导。
例 2-11 讨论函数y = f(x) = { 1处的连续性与可导性。 连续性 可导性
x3
2x dy y sin ,求 2 1x dx dy y ln sin x,求 dx dy y 1 2 x ,求 dx
3 2
例2-26
例2-27
例2-28
例2-29 例2-30
dy y ln cos( e ),求 dx
x
ye
1 sin x
,求y
n
y sin nx sin x,求y
第二章 倒数与微分
第一节 倒数的概念
一. 变速直线运动的速度问题 1.汽车的行驶 在很短的时间内, 我们用平均速度来近似 的代替瞬时速度,当
t 很小时,近似程度就越
好,
t 0 此时由近似值就过渡到精确值
汽车在t+ t 内的行驶路程为 s ,在t时刻的
速度 v(t) =
lim s / t lim s(t t ) / t (t 0)
(cos x ) sin x
2 (t an x ) sec x 2 (cot x ) csc x (sec) t an x sec x
(csc) cot x csc x
• 对数函数
1 (loga x) loga e x 1 (ln x) (a e时) x
(2)由上式知,t = t0 时的瞬时速度为:
V
t t 0
1 lim g (t0 t ) gt 0 t 0 2
(3)当t0 =10, t =0.1s时,平均速度为
1 V g (10 0.1) 10.05 g (m / s ) 2 (4)当 t = 10s时,瞬时速度为 V t 10 10g (m / s)
例 2-7 求曲线 y x 在点(4 , 2)处的切
线方程和法线方程。 例 2-8 曲线 y ln x 上何处的切线平行于直 线y = x + 1 。
可导的充要条件
• 定义2-2 若lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x
的切线方程和法线方程
二 幂指函数的导数 形如 y f ( x) g ( x) (其中f ( x) 0) 的函数称为幂指函
数。如 y x x , y xsin x ( x o) 等
幂指函数求导方法:
1.对数求导法
2.指数求导法
1.对数求导法步骤:
1)两边取对数 2)方程两边同时对X求导,得到一个关于 y 的方程式,从中解出 y 2.指数求导法
y f ( x x) f ( x) • (1)求增量:
• (2)算比值: y f ( x x) f ( x)
x x
• (3)取极限:
lim
x 0
y f ( x x) f ( x) x x
常见的导数公式
0 (常数的导数等于零) • (C ) • 幂函数 (xa ) axa1 (a R) • (sin x ) cos x
(cos x ) sin x
2 (t an x ) sec x 2 (cot x ) csc x (sec) t an x sec x
(csc) cot x csc x
• 反三角函数
(arcsin x )
1
2
1 x 1 (arccosx ) ; 1 x2 1 (arct anx ) ; 2 1 x 1 ( arc cot x ) 2 1 x
• (4)(u1 u2 u3 un ) u1 u2 u3 un 求 y
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