4184线性代数（经管类）——重点难点总结
1、设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为_K(1,1,1….1)T
2、设A 是n m ⨯矩阵，已知0=Ax 只有零解，则以下结论正确的是（A ） A ．n m ≥
B ．b Ax =（其中b 是m 维实向量）必有唯一解
C ．m A r =)(
D ．0=Ax 存在基础解系
解：αααααααααααααααα
100
101
101)())(()())(()(T T T T T T T
T ==， 由于)13(23)2,3(=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=T αα，
所以10010010113)13()(==ααααT T ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=466913)2,3(2313100
100ααT （标准答案）． 6、已知4321,,,αααα线性无关，证明：21αα+,32αα+,43αα+,14αα-线性无关． 证：设0)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ，
即0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ，
因为4321,,,αααα线性无关，必有⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧=+=+=+=-000043322141
k k k k k
k k k ，
只有04321====k k k k ，所以21αα+，32αα+，43αα+，14αα-线性无关． 7、设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0/A/=0?
B.A =E
C.r (A )=n
D.0<r (A )<(n )
B.f 的标准形的系数都大于或等于零
C.A 的特征值都大于零
D.A 的所有子式都大于零×
20、求二次型f(x 1,x 2,x 3)=-4x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3经可逆线性变换⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=++=33
32123211y 2x y y 2y 2x y y 2y 2x 所
得的标准形.
12、设A 、B 为同阶方阵，且r (A )=r (B )，则()A 与B 合同⇔r (A )=r (B )⇔P T AP=B,P 可逆
A.A 与B 相似？
B.|A |=|B |
C.A 与B 等价
D.A 与B 合同？
13、若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是(B) A.A 与B 等价 B.A 与B 合同
若矩阵A 的行列式|A |≠0，则A 可逆，即AA -1=E ，E 为单位矩阵。

Ax =0只有零解⇔|A |≠0，故A 可逆
15、问a 为何值时，线性方程组⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨=++=+=++6
32222432321
32321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。

四、证明题（本题6分）
16、设A ，B ，A +B 均为n 阶正交矩阵，证明（A +B ）-1=A -1+B -1。

17、若四阶方阵的秩为3，则() A.A 为可逆阵
B.齐次方程组Ax =0有非零解
C.齐次方程组Ax=0只有零解
D.非齐次方程组Ax =b 必有解
18、设2阶实对称矩阵A 的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为1α=(1，
1)T ,
D。