实例13 汽车悬架双质量系统的传递特性仿真研究根据汽车理论可知悬架双质量系统微分方程为0)()()(0)()(1212111121222=-+-+-+=-+-+q z k z z k z z c zm z z k z z c z m t (13-1) 对式（13-3）和式（13-4）进行拉氏变换并整理，可得tt qk k cs z k k cs s m z k cs z k cs s m z ++=++++=++)()()()(22111222 (13-2)由上式可得2z 和1z 之间的传递函数为kcs s m kcs z z s G +++==22121)( (13-3) 另,,,2132221t t k k cs s m A k k cs s m A k cs A +++=+++=+=将(13-3)代入(13-2),可得到1z 与路面激励q 的传递函数为Nk A A A A k A q z s G t t 22123212)(=-==(13-4) 13.1 车身位移z 2与路面激励位移q 的传递函数现在可分析车轮与车身双质量系统的传递函数。

由式（13-3）（13-4）相乘可以得到车身位移z 2与路面激励位移q 的传递函数为Nk A s G s G q z s G t 1212)()()(===（13-5） 由于传递函数分母为高阶多项式相乘，计算量比较大，因此可利用MATLAB 多项式计算函数求出分母N 的系数。

具体程序如下：m2=317.5; m1=45.4; k=22000; kt=192e3; c=1.5e3; a1=[c k]; a2=[m2 c k]; a3=[m1 c k+kt]; n1=conv(a3,a2); N1=poly2sym(n1); n2=conv(a1,a1); N2=poly2sym(n2); nn=N1-N2; pretty(nn); a1=[c*kt k*kt];den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000]; sys=tf(a1,den); w=0.1:.1:100; >> figure(1)>> [h,w1]=freqs(a1,den,w); >> freqs(a1,den,w);运行可得到传递函数表达式以及传递函数的频率响应特性图：Transfer function:2.88e008 s + 4.224e009 -------------------------------------------------------------------1.441e004 s^4 + 544350 s^3 + 6.894e007 s^2 +2.88e008 s + 4.224e00910101010Frequency (rad/s)P h a s e (d e g r e e s )10101010101010101Frequency (rad/s)M a g n i t u d e由图（13-1）中的频率响应幅值（Magnitude）可以清楚的看到，在0.1到100rad/s的频率范围内，有两个明显的共振峰值，由汽车理论可知，这两个共振峰值是由汽车双质量系统两个主频率ω和2ω决定的。

下面进一步具体计算汽车双质量系统两个主频率1ω和2ω。

具体1程序如下：m2=317.5;m1=45.4;k=22000;kt=192e3;c=1.5e3;a1=[c*kt k*kt];den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000];sys=tf(a1,den);w=0.1:.1:100;[h,w1]=freqs(a1,den,w);freqs(a1,den,w);title('z2/z0')mag=abs(h);margin(sys);j=0;for i=1:length(w)-1;if (mag(i+1)-mag(i))<0&(mag(i)-mag(i-1))>0;j=j+1;magmax(1)=mag(i);wm(1)=w(i);elseif(mag(i+1)-mag(i))<0&abs(mag(i)-mag(i-1))<0.0001;j=j+1;magmax(2)=mag(i);wm(2)=w(i);endendwm1=wm(1)/2/pi;wm2=wm(2)/2/pi;magm1=magmax(1);magm2=magmax(2);>> i1=wm1/f0;>> i2=wm2/f0;>> fprintf('汽车双质量悬架系统主频率1（低频）w1=%3.3f HZ \n',wm1)汽车双质量悬架系统主频率1（低频）w1=1.210 HZ>> fprintf('汽车双质量悬架系统主频率2（高频）w2=%3.3f HZ \n',wm2)汽车双质量悬架系统主频率2（高频）w2=9.390 HZ>> fprintf('汽车双质量悬架系统低频共振峰值Mag1=%3.3f \n',magm1)汽车双质量悬架系统低频共振峰值Mag1=2.413>> fprintf('汽车双质量悬架系统高频共振峰值Mag2=%3.3f \n',magm2)汽车双质量悬架系统高频共振峰值Mag2=0.155>> fprintf('主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3f \n',i1) 主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=0.913>> fprintf('主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f \n',i2) 主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=7.08810101010Frequency (rad/s)P h a s e (d e g r e e s)M a g n i t u d e (d B )10101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)由仿真计算结果可以看出，汽车双质量悬架系统主频率（低频）1ω与汽车车身系统固有频率f 0比较接近，而汽车双质量悬架系统主频率（高频）2ω与汽车车轮系统固有频率f 1比较接近。

由上图容易得出系统参数。

幅值稳定裕度：Gm=16.9dB 。

穿越频率：ωg =65rad/s 。

相位角稳定裕度：Pm=65.9度。

剪切频率：ωc =11.6rad/s 。

13.2车身加速度2⋅⋅z 对车轮速度⋅q 的传递函数车身加速度2⋅⋅z 对车轮速度⋅q 的传递函数H 1(s)为)()0()0()(22221s G s qzs sq z s q z s H +=+=== (13-6) 式(13-6)可理解为车身加速度与车轮加速度的传递函数H 1(s)是传递函数G(s)与环节(s+0)串联形成，现在利用matlab 进行传递函数H 1(s)的频率响应分析。

具体程序如下： m2=317.5; m1=45.4;k=22000;kt=192e3;c=1.5e3;a1=[c k];a2=[m2 c k];a3=[m1 c k+kt];n1=conv(a3,a2);N1=poly2sym(n1);n2=conv(a1,a1);N2=poly2sym(n2);nn=N1-N2;pretty(nn);a1=[c*kt k*kt];den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000]; sys=tf(a1,den)*tf([1,0],[0,1]);w0=(k/m2)^0.5;f0=w0/2/pi;wt=((k+kt)/m1)^0.5;ft=wt/2/pi;kexi=c/2/sqrt(k*m2);w=0.1:.1:100;figure(1)[mag,phase]=bode(sys,w);margin(sys);grid onj=0;for i=1:length(w)-1;if (mag(i+1)-mag(i))<0&(mag(i)-mag(i-1))>0;j=j+1;magmax(1)=mag(i);wm(j)=w(i);elseif(mag(i+1)-mag(i))<0&abs(mag(i)-mag(i-1))<0.0001; j=j+1;magmax(2)=mag(i);wm(2)=w(i);endendwm1=wm(1)/2/pi;wm2=wm(2)/2/pi;magm1=magmax(1);magm2=magmax(2);i1=wm1/f0;i2=wm2/f0;fprintf('汽车车身系统固有频率f0=%3.3f HZ \n',f0)fprintf('汽车车轮系统固有频率ft=%3.3f HZ \n',ft)fprintf('汽车车身加速度对车轮速度主频率1 (低频)w1=%3.3f \n',w1)fprintf('汽车车身加速度对车轮速度主频率2（高频)w2=%3.3f \n',w2)fprintf('汽车双质量悬架系统低频共振峰值Mag1=%3.3f \n',magm1) fprintf('汽车双质量悬架系统高频共振峰值Mag2=%3.3f \n',magm2) fprintf('主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3f \n',i1) fprintf('主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f \n',i2)运行程序可以得到下述结果和图13-3：Transfer function:2.88e008 s^2 + 4.224e009 s---------------------------------------------------------------- 1.441e004 s^4 + 544350 s^3 + 6.894e007 s^2 + 2.88e008 s+ 4.224e009汽车车身系统固有频率f0=1.325 HZ汽车车轮系统固有频率ft=10.927 HZ汽车车身加速度对车轮速度主频率1 (低频)w1=1.289汽车车身加速度对车轮速度主频率2（高频)w2=10.027汽车双质量悬架系统低频共振峰值 Mag1=9.364汽车双质量悬架系统高频共振峰值 Mag2=9.364主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=0.973主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=7.568-40-202040M a g n i t u d e (d B )10101010-180-9090P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , P m = 11.2 deg (at 155 rad/sec)Frequency (rad/sec)图13-3 车身加速度2⋅⋅z 对车轮速度⋅q 的传递函数相对动载荷)(1q z k F t d -=，静载荷为g m m G )(21+=.则G F d /对q 的传递函数为))(()(2112gm m k q q z s H t +-=将上式代入式（13-8）可以写为g m m k N N k A Gq F tt d )(212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （13-9） 式（13-9）是非常复杂的多项式，可以先利用MATLAB 符号计算方法先将传递函数分子分母计算出来后再进行频率响应仿真分析。