2019全国各地中考数学压轴大题几何综合
一、圆中的计算和证明综合题
1.（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．
（1）若∠BAC＝60°，
①求证：OD＝OA．
②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED （m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．
2.（2019•宁波）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与
AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD＝BE．
（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．
（3）设＝x，tan∠DAE＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．
3.（2019•温州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，
E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．
（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．
（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．
4.（2019•武汉）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点
E，分别交AM、BN于D、C两点．
（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．
5.（2019•宜昌）如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作
⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB 交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OH＝AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；
（3）若NH＝AH，BN＝，连接MN，求OH和MN的长．
6.（2019•襄阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点
D，过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，BC＝6，求优弧的长．
7.（2019•鄂州）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于
E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△P AB的内心；
（3）若cos∠P AB＝，BC＝1，求PO的长．
8.（2019•荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．
（1）求证：＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sin C的值．
9.（2019•孝感）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，
与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
10.（2019•荆州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点
（不与O，B重合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l 上取点F，使FC＝FD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当点E是的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．
11.（2019•株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、
BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P．
（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；
（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）
①求证：△DHC为等腰直角三角形；
②求CH的长度．
12.（2019•邵阳）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线P A，点A为切点，连接PO并延
长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：△APO～△DCA；
（2）如图2，当AD＝AO时
①求∠P的度数；
②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出
的值；若不存在，请说明理由．
13.（2019•益阳）如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC
于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．
（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；
（2）求证：ND＝NE；
（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长．
14.（2019•怀化）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、
DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．
（1）计算∠CAD的度数；
（2）连接AE，证明：AE＝ME；
（3）求证：ME2＝BM•BE．
15.（2019•扬州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，点Q是上的一点．
①求∠AQB的度数；
②若OA＝18，求的长．
16.（2019•泰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过
点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．
17.（2019•济宁）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长
线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tan C＝，求直径AB的长．
18.（2019•临沂）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的
延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
19.（2019•聊城）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长
BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．
（1）求证：EC＝ED；
（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
20.（2019•成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相
交于点E．
（1）求证：＝；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．
21.（2019•泸州）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2
＝PB•P A．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
22.（2019•广元）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线
PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tan B＝，求P A的长；
（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．
23.（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，
垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．。