第二章有理数及其运算■通关口诀：学好有理并不难；基本概念要通关。
整分统称有理数；小数有理也无理。
数轴加上反绝倒。
还有负数非负数。
六个概念先学好；五种运算无漏洞。
科学记数表大数；寻找规律有方法。
■正奇数学学堂第一讲：有理数与数轴【知识点一】正数、负数和0。
1．相反意义的量：由具有相反意义的词表示的两个量叫做具有相反意义的量。
2．具有相反意义的两个量：规定其中一个量用正数表示；另一个量就用负数表示。
3．正负数：正数：大于0的数；负数：小于0的数。
其中正数的正号可省略不写。
负数的负号必须写出。
4．0：不仅表示“没有”，它还是正数与负数的分界。
同时也是具有相反意义的量的基准量。
既不是正数又不是负数。
5．正数与负数的分界：数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号。
6．重新认识两个符号——⑴“+”：运算符号表示加；性质符号表正数。
⑵“-”：运算符号表示减；性质符号表负数。
★正奇点睛：1．其实上述两个符号还有“自己”和“相反”的意思。
学了相反数自会明白。
2．注意“负负得正”与“双重否定变肯定”的关系。
〖母题示例〗1．任意写出5个正数：________________；任意写出5个负数：_______________．2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．3．已知下列各数：51-，432-，3.14，+3065，0，-239．则正数有_____________________；负数有____________________．4．如果向东为正，那么 -50m表示的意义是（）A．向东行进50m C．向北行进50mB．向南行进50m D．向西行进50m5．下列结论中正确的是（）A．0既是正数，又是负数B．O是最小的正数C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数6．给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，21-，2004，+2008．其中是负数的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如果规定向东为正，那么从起点先走+40米，再走－60米到达终点，问终点在起点什么方向多少米？应怎样表示？一共走过的路程是多少米？8．10筐橘子，以每筐15㎏为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。
标重的记录情况如下：+1，－0.5，－0.5，－1，+0.5，－0.5，+0.5，+0.5，+0.5，－0.5。
问这10筐橘子各重多少千克？总重多少千克？9．吐鲁番的海拔是－155m ，珠穆朗玛峰的海拔是8848m ，它们之间相差多少米？ 【知识点二】有理数的概念及分类。
1．分数与小数：⑴小数：有限小数；无限小数（循环；不循环） ⑵分数：可化为整数、有限小数或无限循环小数。
⑶无限不循环小数：不能化为分数（不是分数）。
2．有理数：整数和分数统称为有理数。
3．有理数的分类（两分法和三分法）：略。
4．小数与有理数：小数中的有限小数和无限循环小数属于有理数中的分数。
无限不循环小数不是有理数。
5．非负数：零和正数。
即：大于或等于0的数。
6．数集： 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。
所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。
★正奇点睛：特别注意“小数”与分数和有理数的关系。
〖母题示例〗1． 有理数：1322,0,,10.3,,52,8,0.38,102,31,1,6.3245----+-其中：正数：}{ … 正分数：}{ … 负数：}{ … 负分数：}{ … 负整数：}{… 正整数：}{… 2．下列说法正确的是（ ）A ．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B ．有理数不是正数就是负数C ．有理数不是整数就是分数;D ．以上说法都正确3．判断：①所有整数都是正数；（ ） ②所有正数都是整数：（ ）③奇数都是正数；（ ） ④分数是有理数： （ ）4．把下列各数填入相应的大括号内：-13．5，2，0，0．128，-2．236，3．14，+27，-45，-15%，-112，227，2613．正数集合{ …}， 负数集合{ …}， 整数集合{ …}， 分数集合{ …}， 非负数集合{ …}5．图中两个圆圈分别表示正整数集合和整数集合,请写并填入两个圆圈的重叠部分.你能说出这个重叠部分表示什么数的集合吗?正数集合整数集合【知识点三】数轴的概念、辩识和画法。
1．数形结合的思想：数的准确与形的直观结合。
2．定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
3．数轴有三要素：原点、正方向和单位长度。
4．数轴的画法：水平直线→原点（标0）→确定方向（用箭头表示）→选取单位长度。
5．注意：画数轴时，原点的位置和单位长度的长短要根据题目的实际需要灵活确定。
6．数轴的辨识：三要素+单位长读是否统一。
●知识点四：数轴上的点与有理数的关系。
1．对应关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的所有点并不是都表示有理数。
有理数与数轴上的点不是“一一对应”的关系。
2．数的分布：正有理数用原点右边的点表示；负数用原点左边的点表示；0用原点表示。
3．表示方法：小数最好化成分数后再在数轴上找对应点。
数轴上表示某个数时，在该数所在点的位置标一个实心的小黑圆点，再上面或者下面写上对应的数即可。
〖母题示例〗1.写出数轴上点A,B,C,D,E所表示的数:2．下列所画的数轴中正确的是（）ABCD 3．在数轴上点A表示-4,如果把原点O向负方向移动1.5个单位,那么在新数轴上点A表示的数是( )A.215- B.-4 C.212- D.212【知识点五】数轴与有理数的大小。
1．利用数轴可以方便快捷地比较有理数的大小。
2．正数都大于0；负数都小于0；正数都大于负数。
3．数轴上原点右边的点表示的数为正数；原点左边的点表示的数为负数；右边的点表示的数比左边的大。
简记为：右大左小。
4．注意：两个负数比较大小时：“表面越大”的数反而越小。
★正奇点睛：数轴的三个基本功能：仓库；排队；数形结合。
〖母题示例〗1．画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并比较大小。
－121，2，3，－2.7，131，－3，02．如图所示，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（）A．b>a>0>c B．a<b<0＜c C．b<a<0<c D．a<b<c<0第二讲：相反数与绝对值【知识点一】相反数。
1．定义⑴代数定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数。
也称这两个数互为相反数。
规定：0的相反数是0。
⑵几何定义：在数轴上，如果表示两个数的点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等，我们称其中的一个数是另一个数的相反数。
（互为相反数）(3)相反数的性质和求法。
2．性质：正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0。
3．求法：按照定义直接写；联想数轴上的位置确定一个数的相反数；“计算法”：a 的相反数是－a 。
★正奇点睛：1．“+”号：还可表示“不变”、“自己”。
“-”也可表示“相反数”的意义。
2．巧用相反数“计算法”和上述解释化简“多重括号”。
3．a-b 与b-a 互为相反数； a+b 与–a-b 互为相反数。
〖母题示例〗1．求下列各数的相反数：（1）-5 （2）21 （3）0 （4）3a （5）-2b (6) a-b (7) a+2 2．判断： （1）-2是相反数 （2）-3和+3都是相反数 （3）-3是3的相反数（4）-3与+3互为相反数 （5）+3是-3的相反数（6）一个数的相反数不可能是它本身 3．化简下列各数中的符号： （1）)312(-- （2）-（+5） （3）[])7(--- （4）[]{})3(+-+-4．已知a 、b 在数轴上的位置如图所示。
（1） 在数轴上作出它们的相反数；（2） 用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来。
5．如果a-5与a 互为相反数，求a.的值。
【知识点二】绝对值的概念。
1．几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离，叫做该数的绝对值。
2．代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
3．互为相反数的两个数的绝对值相等。
一个数的绝对值一定是非负数。
4．符号语言：|a|表示有理数a 的绝对值。
读做a 的绝对值。
5．绝对值的计算公式：0 (a=0)a (a ＞0)- a (a ＜0)即：︱a ︱=★正奇点睛：若|x|=x ，则x ≥0 若IxI=－x ，则x ≤0。
〖母题示例〗1．、求4、-3.5的绝对值。
2．比较-3与-6的绝对值的大小。
3．求-3、-0.4、-2的绝对值，并用“〈”号把这些绝对值连接起来。
4．计算：①2132---②23144.3-+- ③4143-÷+④2352-+-5．填空：（1）求绝对值不大于2的整数＿＿＿＿＿＿ （2）绝对值等于本身的数是＿＿＿，绝对值大于本身的数是＿＿＿＿＿．（3）绝对值不大于２.５的非负整数是＿＿＿ 6．数轴上与表示1的点的距离是2的点所表示的数有___________________.7.若x ＜0，则|x|= ；若|x|=x ，则x 8．选择⑴绝对值最小的有理数是 ( ) A.1 B.0 C.-1 D.不存在⑵绝对值小于3的负数的个数有( ) A.2 B.3 C.4 D.无数⑶绝对值等于本身的数有（ ） A.1个 B.2个 C. 4个 D.无数个 【知识点三】两个负数大小的比较（有理数比较大小）。
1．两个正数比较大小：绝对值大的数较大。
两个负数比较大小：绝对值大的数反而小。
2．正数大于负数；负数小于0；正数大0。
3．数形结合比较法：数轴上，数所对应的点在右边的数一定大于左边的数。
4．有理数的两个重要属性：符号决定方向、目标；绝对值决定距离、数量、长度。
确定一个有理数：一定符号，二定值。
5．分类讨论要牢记：人有两性分男女，数有三性正负零。
〖母题示例〗1．比较-32与-23的大小，并说明理由． 2．用“〈”将 4，12，324-，-|-3|连接起来，并说明理由．3．在-37，-0.42，-0.43，-194中，最大的一个数是 。
4．有理数a 、b 在数轴上如图，用 > 、= 或 < 填空（1）a____b , (2) |a|___|b| , (3)–a___-b, (4)|a|___a , (5) |b|____b5．如果|x|=|-2.5|,则x=______ 6．绝对值小于3的整数有____个，其中最小的一个是____7．|-3|的相反数是 ;若|x|=8,则x= .8． 选择题（1）如果|a|=-a ，那么 （ ）A a 〉0B a ＜0C a ≥0D 0≤a（2）若一个数大于它的相反数，则这个数是 （ ）A 正数B 负数C 非负数D 非正数（3）下列判断中：（1）负数没有绝对值；（2）绝对值最小的有理数是0；（3）任何数的绝对值都是非负数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，其中正确的个数有（）A 1个B 2个C 3个D 4个第三讲：有理数的加减法【知识点一】有理数加法法则。