2017-2018学年 高三数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则()U A C B ⋂=（） A ．{}1 B ．{}2 C ．{}4 D ．{}1,22.命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 3x x >-”的否定是（）A ．()00,x ∃∈+∞，00ln 3x x ≤-B ．()0,x ∀∈+∞，ln 3x x >-C ．()0,x ∀∈+∞，ln 3x x <-D ．()0,x ∀∈+∞，ln 3x x ≤-3.已知tan α=，αcos αα+=（）A ．B ．-C ．．-4.已知直线,m n 均在平面α内，则“直线l m ⊥且直线l n ⊥”是“直线l ⊥平面α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31n n S a =+，则10a =（）A ．91032-B ．101032- C. 91032 D ．1010326.已知向量,a b 的夹角为120，且，(),20a m b m m ==≠，若()a ab λ⊥-，则λ=（） A ．1 B ．1- C.2 D ．2- 7.已知函数()sin 0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（） A ．1,26π B ．1,6π C.1,3π D ．1,23π8.已知定义在R 上的函数()f x 为周期函数，且周期为4，若在区间[]2,2-上，()222,20log ,02x m x f x x m x ⎧+-≤≤=⎨-<≤⎩，则()2017f m =（）A ．94-B ．52- C. 94 D ．529.如图，已知ABC ∆中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n +=（） A ．13- B ．12-C.14- D ．1210.已知一空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．27πB ．49π C.81π D ．100π11.已知正实数,a b 满足3a b +=，则1414a b+++的最小值为（） A ．1 B ．78 C.98D ．2 12.如图，在边长为2的正三角形ABC 中，点P 从点A 出发，沿A B C A →→→的方向前进，然后再回到点A ，在此过程中，即点P 走过的路程为x ，点P 到点,,A B C 的距离之和为()f x ，则函数()y f x =的大致图像为（）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3,4b c ==，且ABC ∆的面积为则a = ．14.已知实数,x y 满足约束条件210100,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =+点的最大值是 ．15.如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -最终，O 为底面正方形的重心，,M N 分别为侧棱,PA PB 的中点，有下列结论： ①//PC 平面OMN ； ②平面//PCD 平面OMN ； ③OM PA ⊥；④直线PD 与直线MN 所成角的大小为90.其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）16.已知直线1y x =+与曲线ln y a x =相切，若()(),1a n n n N *∈+∈，则n = ．（参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1≈≈）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin 0b A a B +=. （1）求角B 的大小；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值. 18. （本小题满分12分）在单调递增的等差数列{}n a 中，3715,,a a a 成等比数列，前5项之和等于20. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使2425n T ≤成立的n 的最大值.19. （本小题满分12分） 已知函数()()4cos cos 103f x x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间. 20. （本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE 中，四边形ABCF 为平行四边形，F 为DE 的中点，BCE ∆为等腰直角三角形，BE 为斜边，BDE ∆为正三角形，2CD CE ==. （1）证明：CD BE ⊥； （2）求四面体ABDE 的体积.21. （本小题满分12分）某工厂每日生产某种产品(1)x x ≥吨，当日生产的产品当日销售完毕，产品价格随产品产量而变化，当120x ≤≤时，每日的销售额y （单位：万元）与当日的产量x 满足ln y a x b =+，当日产量超过20吨时，销售额只能保持日产量20吨时的状况.已知日产量为2吨时销售额为4.5万元，日产量为4吨时销售额为8万元. （1）把每日销售额y 表示为日产量x 的函数； （2）若每日的生产成本()112c x x =+（单位：万元），当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值.（注：计算时取ln 20.7,ln 5 1.6==） 22. （本小题满分12分） 已知函数()()2xf x x e =-（1）求()f x 在[],2t t +上的最小值()h t ； （2）若存在两个不同的实数,αβ，使得()()ff αβ=，求证：2αβ+<.试卷答案一、选择题1-5:ADCBA 6-10:BAABC 11、12：CA1. 【解析】因为{}1,3,5U C B =，所以{}1U A C B ⋂=.故选A .2. 【解析】改存在量词为全称量词，否定结论即可.故选D .3. 【解析】由tan α=，得sin αα=，结合22sin cos 1αα+=，可得21cos 3α=，又α为第三象限角，所以cos α=.所以cos 3cos ααα+==.故选C . 4. 【解析】如果直线,m n 是平行先，则不能得出l ⊥平面α；反之，如果l ⊥平面α，则l 垂直于平面α内的所有直线，故直线l m ⊥且直线l n ⊥.所以“直线l m ⊥且直线l n ⊥”是“直线l ⊥平面α”的必要不充分条件.故选B .5. 【解析】由31n n S a =+①，得1131n n S a ++=+②，②-①，得1133n n n a a a ++=-，得132n n a a +=，又1131a a =+，所以112a =-，故数列{}n a 是以12-为首项，32为公比的等比数列，所以11323n n a -⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,故991010133222a ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选A .6. 【解析】因为()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，即21202m m m λ⎛⎫-⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭，解得1λ=-，故选B . 7. 【解析】由图像知，224433T ππππω⎛⎫=+==⎪⎝⎭，解得12ω=.又当23x π=时，1y =，所以12sin 123πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以122232k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈.当0k =时，6πϕ=.故选A .8. 【解析】因为函数()f x 是以4为周期的周期函数，所以()()22f f -=，故1214m m +=-，解得14m =.所以()201711119201750441262444444f m f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=⨯+==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选A .9. 【解析】依题意得，()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，故1121111522333636CE CA AE CA AD AC AB AC AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=+=-++=-++=- ⎪⎝⎭，故151362m n +=-=-.故选B . 10. 【解析】该几何体的直观图如图所示，它是一正四棱柱被截去了两个三棱锥得到的，与原正四棱柱有相同的外接球，该正四棱柱的体对角线为球的直径，长度为9==，故外接球的直径为9，外接球的表面积为294812ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选C .11. 【解析】因为3a b +=，所以()()148a b +++=，所以()()14114148a b a b +=+++⋅⎡⎤⎣⎦++ ()(41141419551481188a b a b a b +⎡⎤+⎛⎫+=++≥+=⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦.当且仅当()41b a a +=+，即22a b -=，即54,33a b ==时等号成立.故选C . 12. 【解析】解法一：当点P 在AB 上时，02x ≤≤,PC x ==P 到点,,A B C 的距离之和为()22f x ==，因为函数()f x 在[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增，且函数图像不是由直线段组成的，排除选项,,B C D ，故选A .解法二：当0x =时，()4f x =.当点P 由A 到B 的过程中CP 的长先减小后增大，且2PA PB +=,2CP <，对应的函数图像线下降，后上升，由此可排除选项,B D 由CP 长度的增加和减少不是均匀变化的，即对应的图像不是有直线段组成的，由此排除C ，故选A . 二、填空题14.13 15. ①②③ 16.313. 【解析】由三角形面积公式，得134sin 2A ⨯⨯=，所以sin A =，所以1cos 2A =±，所以a =a =. 14. 【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数23z x y =+的几何意义是直线233zy x =-+在y 轴上的截距的3倍，易知目标函数在点()2,3A 处取得最大值，故z 的最大值为13.15. 【解析】如图，连接AC ，易得//PC OM ，所以//PC 平面OMN ，结论①正确.同理//PD ON ，所以平面//PCD 平面OMN ，结论②正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以22222AB BC PA PC AC +=+=，所以PC PA ⊥，又//PC OM ，所以OM PA ⊥，结论③正确.由于,M N 分别为侧棱,PA PB 的中点，所以//MN AB ，又四边形ABCD 为正方形，所以//AB CD ，所以直线PD 与直线MN 所成的角即为直线PD 与直线CD 所成的角，为PDC ∠，知三角形PDC 为等边三角形，所以60PDC ∠=，故④错误.16. 【解析】设直线1y x =+与曲线ln (0)y a x a =>相切于点()00,ln x a x ，则在该点处曲线的切线方程为()000ln a y a x x x x -=-，即00ln ay x a x a x =+-，该直线与直线1y x =+重合，所以0a x =且0ln 1a x a -=，即ln 1a a a -=，令()ln 1g a a a a =--，()'ln g a a =，当1a >时，()'ln 0g a a =>，()g a 在()1,+∞上单调递增，又()33ln 340g =-<，()44ln 458250g lin =-=->，所以函数()y g a =在()1,+∞内唯一的零点在区间()3,4内，所以3n =. 三、解答题17. 解：（1）由正弦定理和sin cos 0b A a B +=得sin sin sin cos 0B A A B +=，……2分 因为sin 0A ≠，所以sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，……3分又0B π<<，所以34B π=.……5分 （2）由余弦定理，可得224a c =++，……6分18. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3715,,a a a 成等比数列，所以27315a a a =，即()()()21116214a d a d a d +=++，即212a d d =，因为0d ≠，上式可化为12a d =①，……2分 又数列{}n a 的前5项之和等于20，所以1545202a d ⨯+=，即124a d +=②.……4分 联立12a d =①②解得12,1a d ==， 所以()2111n a n n =+-⨯=+.……6分 （2）因为()()122221212n n n b a a n n n n +===-++++，……8分 所以1222222222233412222n n nT b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.……10分因为2425n T ≤，所以24225nn ≤+， 48n ≤， 所以使2425n T ≤成立的n 的最大值为48.……12分19. 解：（1）()4coscos 13f x x x πωω⎛⎫=--⎪⎝⎭14cos cos 12x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭22cos cos 1x x x ωωω=+-2cos 22sin 26x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.……4分因为函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22ππω=，即1ω=， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.……6分 （2）由不等式222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，可得6k x k πππ≥≥+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.……8分令0k =，得函数()f x 在[]0,2π上的一个单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 令1k =，得函数()f x 在[]0,2π上的一个单调递增区间为27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 令2k =，得函数()f x 在[]0,2π上的一个单调递增区间为5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.……11分 函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.……12分 20. 解：（1）因为BCE ∆为等腰直角三角形，BE 为斜边，所以2,CB CE BE ===分因为三角形BDE 为正三角形，所以BD =,在三角形BDC 中，222BC CD BD +=，所以CD BC ⊥， 同理，可得CD CE ⊥.……4分因为BC CE C ⋂=，所以CD ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，所以CD BE ⊥.……6分 （2）又（1）可得BC ⊥平面DCE ，因为四边形ABCF 为平行四边形，所以AF ⊥平面DCE ，所以AF DE ⊥, 又CD CE =，F 为DE 的中点，所以CF DE ⊥， 又CF AF F ⋂=，所以DE ⊥平面AFCF .……9分连接BF ，则13A BDE D ABF E ABF ABF V V V DE S ---∆=+=⋅1142323=⋅⋅= 所以四面体ABDE 体积为43.……12分21. 解：（1）因为2x =时， 4.5y =，所以0.7 4.5a b +=①，当4x =时，8y =，所以1.48a b +=②，由①②解得5a =，1b =，所以当120x ≤≤时，5ln 1y x =+.……4分当20x =时，()ln 20152ln 2ln 515(1.4 1.6)116y =+=⨯++=⨯++=.所以5ln 1,12016,20x x y x +≤≤⎧=⎨>⎩.……6分 （2）当日产量为x 吨时，每日利润为()l x ，则()()15ln ,1202115,202x x x l x y c x x x ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩.……8分 ①若120x ≤≤，则()'511022x l x x x -=-=, 当110x ≤<时()'0l x >；当1020x <≤时，()'0l x <，故10x =是函数在[]1,20内唯一的极大值点，也是最大值点，所以()max 1(10)5ln1010 6.52l x l ==-⨯=万元.......11分 ②若20x >，则()1152l x x =-，显然()1152l x x =-单调递减，故()5l x <. 结合①②可知，当日产量为10吨时，每日的利润可达到最大，最大利润为6.5万元. (12)22. 解：（1）根据题意，得()()'1x fx x e =-.……2分 当1x <时，()'0f x <；当1x >时()'0f x >.故()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增.……3分当21t +≤，即1t ≤-时，()f x 在[],2t t +上单调递减，()()22t h t f t te +=+=；当12t t ≤<+，即11t -<≤时，()()1h t f e ==-；当1t >时，()f x 在[],2t t +上单调递增，()()()2t h t f t t e ==-.……5分 所以()()2,1,112,1t t te t h t e t t e t +⎧≤-⎪=--<≤⎨⎪->⎩.……6分（2）构造函数()()()()()22222,1x x xx e x g x f x f x x e xe x e x e -=--=-+=-+>，.……7分则()()()()22'111xx x x e x e g x x e x e e e -⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭. 因为1x >，所以10x ->，函数2xx e y e e =-单调递增， 所以22110xx e e e e e e ->-=， 所以在区间()1,+∞上()'0g x >，所以在区间()1,+∞上()g x 单调递增， 所以()()10g x g >=，所以当1x >时，()()2f x f x >-.……9分根据（1）中()f x 的性质，若存在两个不同的实数,αβ，使得()()ff αβ=，不妨设，则一定有1a <，1β>，当1α<时，21α->，所以()[]()()222f f f f αααβ⎡⎤->--==⎣⎦，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以2αβ->，2αβ+<.……12分。