把 A 的各列向量分别记成 1 , 2 , L（ 1 , 2 ,
, s 。由它们生成的子空间为 , s
, s ） ，Y 就是 L（ 1 , 2 ,
）中的向量。于是最
小二乘法的问题可叙述为： 找 X 使得（1）最小，就是在 L（1 , 2 ,
, s ）中找一向量 Y，使得 B
一、 问题重述 在缺乏可靠投资渠道的情况下，有的家庭选择利用余钱
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或贷款购置房屋进行投资。请根据市场房屋价格的变化情 况，综合考虑家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋 折旧率、房屋空置率等因素，建立数学模型，为家庭进行住 房投资做出决策。
1.1 问题背景与分析 近年来，随着中国经济日益发展，人们生活水平不断提高，越来 越多的人在能满足自己生活花费之外有余钱进行投资。在缺乏可靠投 资渠道的情况下，有的家庭选择利用余钱或贷款购置房屋进行投资。 买房既然是一项很重要的决策，就需要有一个投资策略，诸如房地产 投资理财的好处和缺点、决定房产价格的因素、怎样买房卖房、怎样 利用房地产周期、怎样做房东、怎样对房产的成本和风险评估等等。 如果我们能在房产理财中考虑和应用这些知识，从而使我们将来的投 资决策和理财更成功，进而避免出现“负资产”和在次贷危机中被迫 放弃房产。 从投资人的角度来讲，一方面，各人的收入差距决定了不同的资 本投资方式，有的人资金较为充足，选择了现金购房的方式，有的人 不能负担起高额的房价带来的投资压力，因而选择以贷款的形式进行 投资。另一方面，在错综复杂的投资背景下，有的人为了规避短期内 房产价格波动所带来的风险，选择了相对长期的投资，还有的人，对 于房地产市场价格波动的周期比较自信， 选择了风险较大的短期投资， 以追求在短时间的利益最大化。从房产的角度来讲，一方面，政策对 房产的价值及升值空间起到了至关重要的作用。首先，政策的出台会 在短期和长期影响房产的升值空间。其次，投资人的投资心理和投资 决策会随政策的出台而改变，例如限购令的颁布会使人们买房欲望降 低而更倾向于持观望态度。最后，政策会对房产市场造成冲击，例如 国家建设保障性住房来缓解低收入人群的购房压力，进而降低房产价 格。另一方面，环境因素也是买房者除房屋质量外最关心的。便利的 交通条件可以为买房者节省时间提高效率；优质的教育资源有更好的 机会给投资人培养下一代，房屋出租会受到高等院校学生的欢迎；良 好的医疗条件可以给投资人的健康提供保障。从投资人利润的角度来 讲，如果选择房地产投资获取利润可以通过租房或者卖房。卖房对房
xs0 使得 (ai1 x1 ai 2 x2
i 1
(1)
0 0 的值最小此时称 x1 x2
xs0 为方程组的最小二乘解， 过程中所用方法即
为最小二乘法。
现令
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a11 a A 21 an1
a四、题目的求解
4.1 问题一 问题一的目的是找到房屋投资者购房时的最优价格
4.1.1 模型１： （１）首先构依赖于价格建价格需求函数反映市场需求对价格的 敏感程度，并且找出房屋投资者购房时的最优价格 （２）在市场竞争的情况下销售面积 x 依赖于价格 p，记作 x=f(p) 利润 U(p)可以表示为 U(p)=I(p)-C(p) 若要使利润 U(p)达到最大，最优价格 p*可以由 到，即有
(C, 1 ) (C, 2 )
回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子，即
1C 0, 2C 0, , sC 0
而 1 , 2 ,
, s按行正好排成矩阵 A ，上述一串等式合起来就是
A( B AX ) 0
或
AAX AB
这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线性方程组，系数矩
阵是 AA ，常数项是 AB 。
利用已知数据（数据见附录 1） 。结合价格需求函数以及最小二乘
法计算得到最优价格为 5591.2 元/㎡， 而其中的社会住房绝对需求量为
a=751770 ， 市 场 需 求 对 价 格 的 敏 感 系 数 b=112.5 ， 即 最 优 价 格 为
问题一：利用搜索到的数据，通过最小二乘法，求出近期房地产市场 供应下的 最优购入价格问题； 问题二：通过对城东、城西、城南、城北和城内各个地方房屋买入与 售出之间的利润收入以及通过租赁获取利润两种方式进行计算和比较， 进 而得出在房地产业获取最大化利润的投资方式。 问题三： 由于近期股票市场前景不好， 故建议部分投资者选择基金进 行投资活动。通过查阅相关资料，求出近几年基金的平均收益率
2
(2)
现采用距离的概念，则式(1)即为 Y B
0 最小二乘法就是找 x10 x2 Y 就是
xs0 使 Y 与 B 的距离最短。从（2）知，向量
a1s a xs 2 s ans
a11 a12 a21 a Y x1 x2 22 an1 an 2
最小二乘法：线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
n
a1s xs b1 a2 s xs b2 ans xs bn
ais xs bi )2
0 0 可能无解，但总是可找到 x1 x2
二、模型的假设
假定： 1）家庭余钱为 100 万，购房 100 ㎡（三室一厅） ，并且在购房之 后把余款存入银行； 2）西安市近期没有房产税以及西安市限购令规定每个家庭在原有 住房的基础上只能再多购买一套住房，且由于限购令出台时期 较晚，造成近期房价数据的缺失，因此在做题时根据西安市房 地产实际情况，假设限购令对西安市影响不明显； 3）房屋以 4500 元/㎡为成本； 4）房屋成本与销售量无关； 5 ）房屋折旧率与使用年限的关系为：年折旧率 =(1- 预计净残 值)/20*100%，房租租赁后每年折旧 5%，但如果不使用该房屋 则不计算折损；
到它的距离比到子空间 L( 1 , 2 ,
, s )中其他向量的距离都短。
应用前面所讲的结论，设
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Y AX x11 x2 2
xs s
是所要求的向量，则
C B Y B AX
必须垂直于子空间 L( 1 , 2 ,
, s )。为此只需而且必须 (C, s ) 0
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屋的折旧率小，是一种可以一次性获得较多的收益的投资；找中介和 自己联系客源是租房的两种基本方式，选择中介可以规避因季度或租 房者不足带来的风险，但其利润相对较低，自己选择客源可以获得高 利润但也要面临高风险，政策的出台也会对房租的价格产生影响；先 租后买也是许多人的选择，这种方式房屋折旧率大，但其优势在于可 以在房屋尚未卖出时获取房屋的最大价值。另一种方式是选择非房地 产投资，分为以下几类:股票基金类投资、商业银行存款国家债券类投 资、期货投资、其他类型投资。股票基金类投资风险最大利润最高， 商业银行存款债券类无风险但利润也最低，期货投资和其他类投资居 中。 为此，我们通过建模计算，比较投资房产收益与股票、债券等投 资方式收益的大小问题。 1.2 目标任务 （小四、宋体）
x1 x X 2 xs

s a1 j x j j 1 s a2 j x j Y j 1 AX s anj x j j 1 b1 b B 2 bn
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6）根据现有政策，房屋租赁年限为 20 年； 7）暂定投资时间为 1 年，待售期间不移入新房居住，且对于新房 不再追加任何投资。
三、符号说明
U(p):收益总额 C(p)：购房价格 I(p):售房价格 f(p)：需求函数，在此表示房产销售面积 a:社会住房绝对需求量 b:敏感系数，即市场需求对价格的敏感程度 q:房产商建房成本 p*:市场最优价格（房价在市场所能达到的最低价位） P:投资者购房时房屋的价格
4.1.3 问题一的综合分析与进一步研究 在计算过程中我们发现，该价格需求函数的使用非常方便，在已 知 a，b 值的情况下，仅需获取当时市场的销售量便可得到当时房产的 最优价格，投资者可参考该价格绝对是否抛出自己手中的房产，具有 一定的指导意义。 4.2 问题二 解决在购入房产之后，为获得最大利润，投资者在卖房与租房之 间的选择问题 4.2.1 模型１： 具体内容可分为多个小问题，根据具体问题情况取舍，如： （１）设租房的年限为 m，则 m 年后房屋价值为 P×（1-4.75%)m m 年后总收益为 P×（1-4.75%)m+房租收入-P （２）由于西安市各区房价不同，现分为城东、城西、城南、城北、 城内进行讨论。 城东：购 100 ㎡房屋一次性花费 55 万，一年后卖出价格为 72.9 万，中间差价为 17.9 万,余钱存入银行所得利润：13500 元，总利润 为：18.35 万 而进行租赁所得为：
p*
q 3341.2 2
。
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（３）结果分析 计算中引入了价格需求函数， 并且通过最小二乘法用 matlab 辅助 求解得出房屋购入时的最优价格应该为 5591.2 元/㎡，此最优价格也 即为对应于现有市场需求的最低房产价格，即房价在降至此数左右时 由于市场需求增加的推动而造成价格的回升，因此这个价格应该为投 资者出售的最佳时刻。但此数是根据西安市平均水平计算得出，因此 在各个地区使用时会产生一定的误差
题目：住房投资分析
摘要
随着房地产业的不断升温，越来越多的家庭开始将余钱投资在房 地产业。但在进行房产投资时，由于房产评估、国家政策以及价格走 势的不确定性，需要运用各种数学手段对其进行分析，以达到让投资 人获取最大利益的目的。在本文中，我们研究了近期的房产数据，提 出了住房投资方面较好的解决方案，对西安市下一阶段房地产投资进 行了分析并提出了最优的投资方案。 在投资住房初期，通过构建价格需求函数并且利用最小二乘法和 matlab 工具来确定购房时的房产最优价格。通过查阅近期数据利用上 述方式求得最小二乘解为 5591.2 元/㎡，该解符合实际生活，具有相 当的可信度。 本问题中考虑到由于西安市各地区的地域不同，造成在投资初期 买入房价的不同，因而分为城东、城西、城南、城北和城内进行分析 计算。 在购入房产之后， 通过分析先前政府公布的数据并且利用 matlab 中的数据拟合方法来预测一年之后的房产价格，进而确定出售房的利 润收入，然后通过假定房间租赁价格恒定来确定选择租房方式时的利 润，根据投资者的不同需求提出投资建议。计算租赁利润时我们引入 了房屋折旧率，并且考虑了房屋装修费用，采用 java 语言进行了编程 计算，求得租赁 20 年之间的总收入与利润收入（由于之后若干年政府 政策的不确定性与金融市场的周期波动性，我们暂不考虑国家的通货 膨胀对房产收益造成的影响） ， 发现在租赁若干年后利润才会超过售房 利润收入。因此，在实际投资中，需要根据实际年限进行分析，以确 定最优化的解决方案。 另外，经过查阅近年来金融市场状况，认定现阶段股票投资风险 性过大，极容易出现资金亏损，因此不建议投资者在近期进行股票方 面的投资；自 05 年以来基金平均收益率高达 52.24%，但是伴随着极 大地风险性，故建议对市场变化敏感、经验丰富的投资者选择基金投 资渠道。