初三数学冲刺复习（二）1．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如果∠BED＝60°，，求P A的长．（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．2．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE＝CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．（1）求四边形AEOF的面积．（2）设AE＝x，S△OEF＝y，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围．3．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC＝60°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．4．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．5．如图（1），∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O交BC 于点D、E．（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由；（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图（2）），MN＝，求的长．6．如图点P在线段AB上，⊙P与x轴相切于D点，且与线段AO相切于C点，已知A、B两点的坐标分别是（8，6），（5，0），求：圆心P的坐标和⊙P的面积．7．如图，⊙O的半径为，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在⊙O上运动．（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与⊙O相切的位置关系？若存在，请求出点C的坐标；（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．8．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为6cm，AE＝10cm，求∠ADE的正弦值．9．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC＝30°．（1）求证：CF为⊙O的切线．（2）若半径ON⊥AD于点M，CE＝，求图中阴影部分的面积．11．已知Rt△ABC的斜边AB＝，两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0的两个实数根．（1）求m的值．（2）求Rt△ABC的内切圆的半径．12．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：（1）求线段AB的长；（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．13．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．14．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．15．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．（1）当α＝30°时，求x的值．（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．16．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）17．某数学课外活动小组的同学．利用所学的数学知识，测底部可以到达的学校操场上的旗杆AB高度，他们采用了如下两种方法：方法1：在地面上选一点C，测得CB为40米，用高为1.6米的测角仪在C处测得旗杆顶部A的仰角为28°；方法2：在相同时刻测得旗杆AB的影长为17.15米，又测得已有的2米高的竹杆的影长为1.5米．你认为这两种方法可行吗？若可行，请你任选一种方法算出旗杆高度（精确到0.1米）若不可行，自己另设计一种测量方法（旗杆顶端不能到达），算出旗杆高度（结果可用字母表示）18．已知，如图，A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB＝12千米，在B村的正北方向有一个D村，测得∠DAB＝45°，∠DCB＝28°，今将△ACD区域进行规划，除其中面积为0.5平方千米的水塘外，准备把剩余的一半作为绿化用地．（1）求BC的长．（2）求绿化地的面积．（结果精确到0.1，sin28°＝0.4695，sin62°＝0.8829，tan28°＝0.5317，tan62°＝1.8808）19．如图（1），将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，∠AOB的平分线OC交AB于C．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．20．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC 绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：；α的取值范围是．21．九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB＝36°，那么∠α的度数是；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）22．已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：．（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，求tan∠ACP的值．答案与解析1．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如果∠BED＝60°，，求P A的长．（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB＝90°，进而求得∠ADO+∠PDA＝90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA＝90°，即可求得∠P＝30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO ＝90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出P A；（3）根据题意可证得∠ADF＝∠PDA＝∠PBD＝∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB＝90°，设∠PBD＝x°，则可表示出∠DAF＝∠P AD＝90°+x°，∠DBF＝2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．2．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE＝CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．（1）求四边形AEOF的面积．（2）设AE＝x，S△OEF＝y，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围．【分析】（1）先根据BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC求出∠B＝∠OAF＝45°，再根据全等三角形的判定定理得出△BOE≌△AOF，再根据S四边形AEOF＝S△AOB即可得出答案；（2）先根据圆周角定理求出∠BAC＝90°，再根据y＝S△OEF＝S四边形AEOF﹣S△AEF即可得出答案．3．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC＝60°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）连结OB、OD、OC，如图1，由于D为BC的中点，根据垂径定理的推理得OD⊥BC，∠BOD＝∠COD，再根据圆周角定理得∠BOD＝∠M＝60°，则∠OBD＝30°，所以∠ABO＝90°，于是根据切线的判定定理得AB是⊙O的切线；（2）作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，则利用角平分线性质得DH＝DN，根据四边形内角和得∠HDN＝120°，由于∠EDF＝120°，所以∠HDE＝∠NDF，接着证明△DHE≌△DNF得到HE＝NF，于是BE+CF＝BH+CN，再计算出BH＝BD，CN＝DC，则BE+CF＝BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC 边长的一半，再计算BC的长即可．4．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCF＝∠DBF ＝90°，则BF∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF＝弧AB，则CF＝AB．根据勾股定理即可求解．5．如图（1），∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O交BC 于点D、E．（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由；（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图（2）），MN＝，求的长．【分析】（1）要求当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切，就要先利用切线的性质画出图形，从图中可以看出旋转的度数就是∠A′BC的度数．然后利用图形来计算．从图中可看出，OG ＝OB的一半，所以角PBG＝30°，所以当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°时与⊙O相切；（2）由勾股定理边的关系可知弧所对的圆心角是一个直角，然后利用弧长公式计算6．如图点P在线段AB上，⊙P与x轴相切于D点，且与线段AO相切于C点，已知A、B两点的坐标分别是（8，6），（5，0），求：圆心P的坐标和⊙P的面积．【分析】过A作AE⊥x轴于E，PF∥x轴交OA于F，连接OP、PC、PD，由勾股定理求出OA＝10，求出PC＝PD，根据角平分线性质和平行线性质求出∠FOP＝∠FPO，推出PF＝OF，根据平行线性质得出比例式，求出＝，求出r＝2，求出BD、OD，得出P的坐标．7．如图，⊙O的半径为，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在⊙O上运动．（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与⊙O相切的位置关系？若存在，请求出点C的坐标；（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．【分析】（1）需要分两种情况讨论，①点A在x轴负半轴，②点A在x轴的正半轴，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标．（2）根据题意画出图形，①点A在上半圆上，②点A在下半圆上，8．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为6cm，AE＝10cm，求∠ADE的正弦值．【分析】（1）首先连接OD，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可证得OD⊥AB，又由四边形ABCD是平行四边形，即可证得OD⊥CD，即可证得CD与⊙O 相切；（2）首先过点O作OF⊥AE，连接OE，由垂径定理可得AF＝5cm，∠AOF＝∠AOE，又由圆周角定理可得∠ADE＝∠AOE，继而证得∠AOF＝∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得答案．9．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．【分析】要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO＝90°即可．10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC＝30°．（1）求证：CF为⊙O的切线．（2）若半径ON⊥AD于点M，CE＝，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）由CD垂直平分OB，得到E为OB的中点，且CD与OB垂直，又OB＝OC，可得OE等于OC的一半，在直角三角形OEC中，根据锐角三角函数的定义，得到sin∠ECO的值为，可得∠ECO 为30°，进而得到∠EOC为60°，又∠CFO为30°，可得∠OCF为直角，由OC为圆O的半径，可得CF为圆的切线；（2）由（1）得出的∠COF＝60°，根据对称性可得∠EOD为60°，进而得到∠DOA＝120°，由OA ＝OD，且OM与AD垂直，根据“三线合一”得到∠DOM为60°，在直角三角形OCE中，由CE的长及∠ECO＝30°，可求出半径OC的长，又在直角三角形OMD中，由∠MDO＝30°，半径OD＝2，可求出MD及OM的长，然后利用扇形ODN的面积减去三角形ODM的面积即可求出阴影部分的面积．11．已知Rt△ABC的斜边AB＝，两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0的两个实数根．（1）求m的值．（2）求Rt△ABC的内切圆的半径．【分析】（1）根据根与系数的关系得到AC+BC＝2m+1，AC×BC＝2m，求出AC2+BC2＝4m2+1，根据勾股定理得出方程即可求出m；（2）求出方程的解得出AC、BC，连接OD、OF，根据三角形的内切圆求出∠ODC＝∠OFC＝90°＝∠C，推出四边形ODCF是正方形，根据正方形的性质得出OD＝OF＝CD＝CF，根据切线长定理得出AC﹣OD+BC﹣OD＝AB，代入求出即可．12．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：（1）求线段AB的长；（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据A、B的坐标，即可求得OA、OB的长，进而可根据勾股定理求出AB的长；（2）由于∠AOB＝90°，由圆周角定理知AB即为⊙C的直径，根据AB的长即可求得⊙C的半径；若过C作y轴的垂线，根据三角形中位线定理，很明显的可以看出C点横坐标是B点横坐标的一半，C 点纵坐标是A点纵坐标的一半，由此得解；（3）由图知：若△POB是等腰三角形，则P点一定是OB垂直平分线与⊙C的交点，可据此求出P点的坐标及∠BOP的度数．13．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△P AE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将△P AD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△P AD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将△P AD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B 三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B＝PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135°．14．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可；（2）分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝30°时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出m的值即可．15．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．（1）当α＝30°时，求x的值．（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．【分析】（1）根据等腰三角形的判定，∠A＝∠α＝30°，得出x＝1；（2）由直角三角形的性质，AB＝2，AC＝，由旋转性质求得△ADC∽△BCE，根据比例关系式，求出S与x的函数关系式；（3）当S＝时，求得x的值，判断⊙E和DE的长度大小，确定⊙E与A′C的位置关系，再求tanα值．16．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）【分析】（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF＝FG+GH﹣AH 求出AF的长．（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．17．某数学课外活动小组的同学．利用所学的数学知识，测底部可以到达的学校操场上的旗杆AB高度，他们采用了如下两种方法：方法1：在地面上选一点C，测得CB为40米，用高为1.6米的测角仪在C处测得旗杆顶部A的仰角为28°；方法2：在相同时刻测得旗杆AB的影长为17.15米，又测得已有的2米高的竹杆的影长为1.5米．你认为这两种方法可行吗？若可行，请你任选一种方法算出旗杆高度（精确到0.1米）若不可行，自己另设计一种测量方法（旗杆顶端不能到达），算出旗杆高度（结果可用字母表示）【分析】方法1：在直角三角形AED中，利用BC的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AB的长．方法2：根据物高与影长的关系，将实际问题转化为数学问题．18．已知，如图，A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB＝12千米，在B村的正北方向有一个D村，测得∠DAB＝45°，∠DCB＝28°，今将△ACD区域进行规划，除其中面积为0.5平方千米的水塘外，准备把剩余的一半作为绿化用地．（1）求BC的长．（2）求绿化地的面积．（结果精确到0.1，sin28°＝0.4695，sin62°＝0.8829，tan28°＝0.5317，tan62°＝1.8808）【分析】（1）在Rt△ABD中，由∠DAB＝45°，可得出∠BDA＝45°，故DB＝AB＝12，在Rt△BCD 中利用锐角三角函数的定义即可求出BC的长；（2）根据S绿化地＝S△ACD﹣S池塘[（AC+BD）×12﹣0.5]即可得出结论．19．如图（1），将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，∠AOB的平分线OC交AB于C．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．【分析】（1）先在直角三角形AOB中根据OB和cos60°，利用三角函数的定义求出OA，然后根据角平分线的定义得到∠AOC等于30°，在△AOC中，利用OA和cos30°，由三角函数的定义即可求出OC的长，根据等角对等边可知BC等于OC；（2）分两种情况考虑：第一，P在BC边上，根据速度和时间t得到PB等于CQ都等于t，过Q作DE 与AC垂直，QE等于CQ sin60°，CP等于BC减去PB，利用三角形的面积公式即可列出S与t的函数关系式；第二，当P在边CQ上时，同理可得S与t的关系式；（3）分三种情况考虑：第一，OP为等腰三角形的底边时，由∠MOP等于∠MPO都等于30°，则∠QOP为60°，得到PQ与OQ垂直，根据30°所对的直角边等于斜边的一半得到OP等于2OQ，分别表示出OP和OQ代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；第二，当OP为等腰三角形的腰时，过P作PN⊥OQ，得到∠QPN＝45°，所以△QPN为等腰直角三角形得到PN＝QN，分别表示出PN和QN列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；第三，当OP＝PM时，PQ∥y，不存在三角形．20．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC 绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是垂直；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：CM＝m•tan；α的取值范围是0°＜α＜90°．【分析】（1）连接CD，OM．根据旋转的性质得出MC＝MD，OC＝OD，再证明△COM≌△DOM，得出∠COM＝∠DOM，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出CD⊥OM；（2）首先用含α的代数式表示∠COM，然后在Rt△COM中，根据正切函数的定义即可得出CM的长度；由OD与OM不能重合，且只能在OC右边，得出α的取值范围．21．九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB＝36°，那么∠α的度数是72°；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。