第三章 一元线性回归模型P56.3.3 从某公司分布在11个地区的销售点的销售量()Y 和销售价格()X 观测值得出以下结果：519.8X = 217.82Y = 23134543i X =∑ 1296836i i X Y =∑2539512i Y =∑（1）、估计截距0β和斜率系数1β及其标准误，并进行t 检验； （2）、销售的总离差平方和中，样本回归直线未解释的比例是多少？ （3）、对0β和1β分别建立95%的置信区间。

解：（1）、设01i i Y X ββ=+，根据OLS 估计量有：µ()()()11111122222211112=129683611519.8217.820.32313454311519.8N N NNNi i i ii i iii i i i i NNNN i ii i i i i i N Y X Y X N Y X N X NYY XN X YN X N X XN XN X X β=========---==⎛⎫--- ⎪⎝⎭-⨯⨯==-⨯∑∑∑∑∑∑∑∑∑µµ01217.820.32519.851.48Y X ββ=-=-⨯= 残差平方和：$()µ()µµµ()µµµµ()µµµµ222112222220111111122222222010101011111111=225395121NNi i i i i NNNNN N ii i i i ii i i i i i N N N N N i i i i i i i i i i i u RSS TSS ESS Y YYY Y Y Y Y Y X N N Y X X Y N X X ββββββββββ===============-=---⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑()22151.480.32313454320.3251.4811519.8997.20224⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯=另解：对$()µ()22211NNi i i i i u RSS TSS ESS Y YYY ====-=---∑∑∑，根据OLS估计µµ01Y X ββ=-知µµ01+Y X ββ=，因此有µµµµµ()µ()01011=++i i iY Y X X X X βββββ--=-，所以 $()µ()()µ()22222211111=NNNNiiiii i i i i u Y Y YY Y Y X Xβ=====------∑∑∑∑∑标准差： µ10.53σ==µ1β的标准误： µ()µµµ10.026se β=====设原假设和备择假设分别为：01=0H β： 110H β≠： 将原假设带入t 统计量：µµ()()10.02510.3212.31 2.26290.026t t se ββ===>= 即拒绝原假设，认为销售价格()X 显著地解释了销售量()Y 的总体平均变化。

（2）、回归直线中未解释部分比列：$()$222222977.202240.05553951211217.82i iiiu u RSSTSSYNYY Y ====-⨯--∑∑∑∑ （3）、µ0β的标准误： µ()s 10.5313.95e βσσσ====⨯=根据置信区间计算式：µµ()µµ()()22,t se t se ααββββ-+得µ0β的95%的置信区间：()51.48 2.26213.95,51.48+2.26213.95-⨯⨯即()19.9383.03，µ1β的95%的置信区间：()0.32 2.2620.026,0.32+2.2620.026-⨯⨯即()0.260.38，3.4 在一个回归中，得到下表，但空缺了两个数据。

（2） 如果显著性水平=0.05α，请用p 值法进行t 检验 解：（1）根据µµ()282.2434==0.9825287.2649t se ββ=µµ()11=20.540260.0369280.7585t se ββ⨯=⨯= （2）从回归估计的结果看，斜率参数µ1=0.7585β，显著性概率=0.0000p ，在显著性水平=0.05α的条件下，p α<，即拒绝原假设，接受备择假设，1β显著不为0，变量X 的变化能显著地解释Y 的总体平均变化。

对截距项µ0=282.2434β，其显著性概率0.33400.05p α=>=，故不能拒绝截距为零的原假设。

（截距一般没有明确的经济含义，但是大多数模型包含截距，以截取没有被X 所解释的Y 的变化，因此，计量经济学一般不对截距进行假设检验）第四章 多元线性回归分析P93.4.2 在分析变量Y 的影响因素时，学生甲建立了如下的多元回归方程：01122t t t t Y X X αααε=+++学生乙也在研究研究同样的经济问题，她只学习了一元线性回归模型。

为了考察在2X 不变时，1X 对Y 的影响，学生乙进行了如下的三步回归分析：0122t t t Y X ββε=++ （a ）10122t t t X X γγε=++（b ）$$1213t t t ελεε=+（c ）其中，$1t ε，$2t ε分别是回归方程()a 、()b 的残差项。

（1） 参数1α和参数1λ有什么样的关系？解释你的理由 （2） 参数2α和参数1β是同一参数吗？解释你的理由 （3） 回归方程()c 为什么没有截距项？ 解：（1、2）由方程（b ）得到21012t t t X X εγγ=--带入方程（c ）得到$()1110123t t t t X X ελγγε=--+带入方程（a ）得到()0111112310t t t t Y X X βλβλγελγ=++-+-又01122t t t t Y X X αααε=+++11=αλ∴、21αβ≠（3）假设方程()c 有截距项μ，则$µ$1213+t t t εμλεε=+µ()10tE ε=Q 即 µ$()µ()¶()¶()213123+=+=0t t t t E E E E μλεεμλεε++ 又¶()2=0tE εQ 、¶()3=0tE εµ()=0E μ∴ 即µ=0μ4.3 在基于受约束和无约束回归方程的估计结果检验线性约束时，需要建立F检验统计量。

有读者在相关文献中看到了如下的F 检验统计量：()()()()222,111urr urRR qF F q N K R N K -=-----:（1）说明该F 统计量的形式是如何得到的。

（2）在使用该统计量形式时需要注意什么条件？（3）在分析生产函数时，如果无约束和受约束方程分别为012ln ln ln t t t t Q K K βββε=+++和()()01ln ln t t t t t Q L K L ββε=++那么，本题中所给出的F 统计量计算公式是否还适用？给出你的理由。

解：（1）()()()()()()()()()()()()22222211=1111,111r ur r ur r ur ur ur ur ur ur urr urR R q RSS RSS q RSS RSS TSS q F RSS N K RSS TSS N K R N K RR qF q N K R N K ⎡⎤-----⎣⎦==--------=-----g g :（2）在（1）中默认了ur r TSS TSS =，因此在使用该统计量形式时需注意无约束回归方程和受约束回归方程的被解释变量应该一致。

（3）不适用。

被解释变量分别为ln t Q 、()ln t t Q L4.4为了分析羊肉的需求特征，有研究者建立并估计了如下的模型：012132ln t i t t t Q Y P P ββββε=+++参数估计值：130.329.10.130.085.86.6 1.8 1.50.0000.0000.08350.146t p --=--= 20.700R = 样本容量30T = 其中：Q :羊肉年人均需求量（单位：kg ） Y ：当地居民的年人均收入水平（元）1P ：羊肉年平均价格（元/kg ） 2P ：牛肉年平均价格（元/kg ）（1）基于经济理论和对经济现实的观察，你对各解释变量系数符合有怎样的先验预期？简要说明理由（2）基于你对解释变量系数的预期，建立相应的假设并进行检验（3）根据t 检验的p 值，该研究者认为：“在5%显著性水平上，1P 和2P 的影响都不显著；在10%显著性水平上，1P 的影响显著，2P 的影响不显著。

”是否同意这一解释？说明理由（4）系数1β估计值为29.1，解释其经济含义解：（1）10β>，在其他经济变量保持不变的情况下，人均收入水平Y 提高意味着居民变得更富有，对羊肉的人均需求量Q 会增加；20β<，羊肉平均价格1P 提高，相对而言更贵了，人们会选择羊肉的替代品牛肉，所以对羊肉的人均需求量Q 会降低；30β>，牛肉平均价格2P 提高，在1P 不变的情况下，人们会选择牛肉的替代品羊肉，Q 增加。

（2）对1β的检验，假设01:0H β≤,11:0H β>。

构造统计量µµ()µµ()0t se se βββββ--==根据t 检验的p 值判断，0.0000.102pα=<=（此处是单侧检验，故取2p ）拒绝原假设，即认为10β>。

同理可检验2β、3β（3）不同意。

在5%显著性水平上，1P 的影响显著，2P 的影响不显著；在10%显著性水平上，1P 和2P 的影响都显著。

（判断方法见（2））（4）在其他变量保持不变的情况下，人均收入水平i Y 每变化一个百分点，人均需求量变化0.291个单位。

期中测试题1. 已知回归模型E N αβμ=++，式中E 为某公司一名新员工的起始薪金（元），N 为所受教育水平（年）。

随机扰动项μ的分布未知，其他所有假设均满足。

（1）从直观经济角度解释α、β的含义。

（2）OLS 估计量µα、µβ是否满足线性性、无偏性及有效性，说明理由 （3）对参数的假设检验是否能够进行，说明理由 解：（1）回归模型的截距为α，即受教育年限0N =时的平均起始薪金，斜率系数为β，即受教育水平每增加1年，起始薪金E 平均增加β个单位。