高等数学试卷（B 卷）答案及评分标准2004-2005年度第一学期科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩:一、填空题（5153'=⨯'） 1、()3)2ln(--=x x x f 的定义域是_ 2、 2 )1sin 2sin (lim 0x =⋅+→xx x x 3、 e )31(lim 3=+∞→xx xe )31(lim 3=+∞→x x x4、如果函数x x a x f 3sin 31sin )(+=，在3π=x 处有极值，则2=a5、34d )1(sin cos 223=+⋅⎰-x x x ππ二、单项选择题（5153'=⨯'）1、当0→x 时，下列变量中与2x 等价的无穷小量是（ ）A . x cos 1-B . 2x x +C . 1-x eD .x x sin )ln(1+2、)A ()(' ,)(的是则下列极限中等于处可导在设a f a x x f =。

A ．h h a f a f h )()(lim 0--→ B ．h h a f h a f h )()(lim 0--+→C ．h a f h a f h )()2(lim-+→ D ． hh a f h a f h 3)()2(lim 0--+→3、设在[]b a ,上函数)(x f 满足条件()0)(,0<''>'x f x f 则曲线()x f y =在该区间上（ ）A. 上升且凹的B. 上升且凸的C. 下降且凹的D. 下降且凸的4、设函数()x f 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（ ）A. )(d )(d d x f x x f x b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ B. x x f t t f x a d )(d )(d =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰C. ()x x f x x f d )(d )(d =⎰ D. C t f t t f +='⎰)(d )( 5、反常积分⎰∞+- 0d 2x xe x （ ）A. 发散B. 收敛于1C. 收敛于21D. 收敛于21-三、算题（'488'6=⨯）1、求极限xxx x 3sin sin tan lim-→2、求22)2()ln(sin lim x x x -→ππ3、求曲线⎩⎨⎧==ty tx 2cos sin 在当4π=t 处的切线方程和法线方程4、已知函数0,sin >=x x y x，计算xy d d 5、求积分⎰x e x d6、求积分x x eed ln 1 ⎰7、计算曲线π≤≤=x x y 0,sin 与x 轴围成的图形面积，并求该图形绕y 轴所产生的旋转体体积。

8、计算星型线0,20,cos ,sin 33>≤≤==a t t a y t a x π的全长.四、求函数求10123+-=x x y 的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（'7）五、设)(0 ]10[)(x f x f <且上连续，，在, 证明：方程1d )( 0=+⎰xt t f x 在[0,1]上有且仅有一根（'5）六、设f (x )连续, 计算t t x f t xx d )(d d 0 22⎰- （'5）七、⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=01062t tt t e t f t ，，）（设 , 计算：⎰∞-=xt t f x F d )(）（（'5）答案：一、填空题1、（2，3）∪（3，+∞）2、23、 e )31(lim 3=+∞→xx x4、25、34d )1(sin cos 223=+⋅⎰-x x x ππ二、1、D2、A3、B4、A5、C三、计算题1、解：x x x x 30sin sin tan lim-→=x x x 20sin cos 1lim-→=21 2’ 4’2、解：22)2()ln(sin lim x x x -→ππ=)2(4cos sin 1lim 2x xx x --→ππ=)2(4cos lim 2x x x --→ππ=81 3、解: 当4π=t 曲线过点)0,22(, 由于22d d 4-=πxy,4’所以, 当4π=t 处的切线方程和法线方程分别为:)22(22--=x y 1’)22(42-=x y 1’4、解:)sin ln (cos )sin ln (cos d )(d d d sin ln sin ln sin xxx x x x x x x e x e x y x x x x x +=+==解: 令uu x x u d 2d ,==, 则:1’ 解: 令uu x x u d 2d ,==, 则:1’5、令u u x x u d 2d ,==, ⎰x e xd =c ex c e u u e ue u ue xuu u u +-=+-=-=⎰⎰)1(2)1(2d 22d 26、解: x x e ed ln 1 ⎰=ex x x x x x x x x x e ee ee e 22d ]ln [d ]ln [d ln d ln 111111111-=-++-=+-⎰⎰⎰⎰ 7、解:面积⎰==π2d sin x x s2’体积微分元x x x V d sin 2d π= 1’所求体积2004d cos 2]cos 2[d sin 2πππππππ=+-==⎰⎰x x x x x x x V 3’ 8、解: 弧微分t t a s d 2sin 23d = 2’弧长⎰⎰===20206d 2sin 6d 2sin 23ππa t t a t t a s 4’四、解:2,2,0',123'212=-==-=x x y x y 得驻点令 1’,0'',6''3===x y x y 得点令由上可知:函数的单调增区间为: (-∞,-2),(2,+∞); 函数的单调减区间为:(-2,2) 2’ 函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6)1’ 凹区间为:(0,+∞),凸区间为:(-∞,0)1’拐点为:(0,10)五、证: 构造函数=)(x ϕ1d )( 0 -+⎰xt t f x , 函数在[0,1]上连续,在区间内可导 1’0d )()1(,1)0(10>=-=⎰x x f ϕϕ,由连续函数的零点定理知,存在ξ在(0,1)内使0)(=ξϕ 2’又因为0)(1)('>+=x f x ϕ所以函数在(0,1)的零点唯一. 2’原命题得证.六、解: 令:22t x u -=, t t u d 2d -= 2’t t x f t x x d )(d d 0 22⎰-=)(]d )(21[d d 20 x 2x f x u u f x =-⎰ 七、解:当⎰∞===≤xx t e t e x F x d )(0时， 2’ 当⎰⎰⎰∞=∞-+=++==>xxtx t tt t e t t f x F x 3620arctan 311d 1d d )()(0时，《高等数学IV1》课程考试试卷 （A 卷）学院 专业 班级学号 姓名………………………………………………………………………………………………………………一、选择题（每小题3 分，共12分）1、设2()3,f x x x x =+使()(0)n f 存在的最高阶数n 为（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)32、函数dt e t y x t ⎰-=20 )1( 有极大值点（ ）（A ） 1=x （B ） 1-=x （C ） 1±=x （D ） 0=x 3、已知函数()f x 的一个原函数是x 2sin ，则'()xf x dx =⎰（ ） (A) 2cos2sin 2x x x C -+ (B) 2sin 2cos2x x x C -+ (C) 2sin 2cos2x x x C ++ (D) sin 2cos2x x x C -+ 4、2x =是函数1()arctan2f x x=-的 （ ） （A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）第一类不可去间断点 （D ）第二类间断点二、填空题（每小题3 分，共12分） 1、函数xy xe -=的图形的拐点是 。

2、曲线21x ey --=的渐进线是 。

3、设dte xf xt ⎰-=02)(，则()()limh f x h f x h h→+--= 。

4、=-→xx x 20)1(lim 。

三、求下列极限（每小题6分，共12分）。

1、2301cos(1)lim tan sin x x e x x→--⋅。

2、()011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭。

四、计算下列微分或导数（每小题6分，共18分）。

1、21x ln x arctan x y +-=，求dy 。

2、cos (sin ),x dy x dx=若y 求。

3、设cos sin x R ty R t =⎧⎨=⎩，求22d y dx 。

五、计算下列积分（每小题6分，共18分）。

1、dx )x (x ⎰+11。

2、求1(12ln )dx x x +⎰。

3、dx xx ⎰-1221。

六、若01x <<，证明不等式x e xx211-<+-（8分）。

七、,0423412所围成的平面图形与直线为曲线设=--=y x x y D求： (1) D 的面积S ； (2) D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V 。

（10分）八、求微分方程522(1)1dy yxdx x-=++的通解（10分）。

《高等数学IV1》统考试题（A ）答案及评分标准一、选择（每题3分，共12分）１、B ２、D ３、A ４、C二、填空（每题3分，共12分）１、)2 ,2(2-e ２、1=y ３、22x e- 4、21e 三、计算下列极限（每小题6分，共12分）。

1、解：原式=4202)1(lim 2x e x x -→ （2分）4402lim x x x →= （4分）21=（6分） 2、 解：原式=20ln(1)ln(1)limlim ln(1)x x x x x x x x x →→-+-+=+ （3分） 2121lim 2111lim00=+=+-→→x x xx x x x （3分）四、求下列导数和微分（每小题6分，共18分）。

1、解：22tan 11x x dy arc x dx x x ⎡⎤=+-⎢⎥++⎣⎦（3分） arctan xdx = （6分）２、解：cos lnsin ()x x y e ''= （2分）cos lnsin (sin ln sin cot cos )x x e x x x x =-+ （4分）=cos (sin )(sin ln sin cot cos )x x x x x x -+ （6分）３、解：解：t dxdycot -= （3分） 2'2311(cot)sin sin t d y dx R t R t=-=-- （6分）五、计算下列积分（每小题6分，共18分）。