如果时间函数 f (t )在t＝0处包含一个脉冲函数

函数用拉氏积分 0
e st dt
进行变换；
第二章 拉普拉斯变换
(4) F (s)为时间函数 f (t ) 的拉氏变换。
于是，时间函数f (t ) 的拉氏变换为
L[ f (t )] F (s) e dt[ f (t )] f (t )e st dt
st 0 0
0
( j ) t
（2.2）
dt
这就产生了一种新的变换—拉普拉斯（Laplace）变换， 简称拉氏变换。 我们规定：
(1) f (t ) (t )u(t ) 为时间t的函数，并且当t<0时 f (t ) 0 ；
(2) s j为复变量； (3) L 为运算符号，放在某个时间函数之前，表示该时间
At 2 f (t ) 0 t0 t0
（2.27）
式中，A为常数。 其拉氏变换为
A L[ At ] At e dt t 2e st 0 s 1 2A 3 s
2 2 st 0
2 te st dt 0

（2.28）
当 A 时的加速度函数称为单位加速度函数，如图2.6(a) 2 所示，用
sin t 1 jt jt (e e ) 2j
因此，正弦函数的拉氏变换为
L[ A sin t ] A jt jt st (e e )e dt 2 j 0 A 1 A 1 A 2 2 j s j 2 j s j s 2
（2.17）
(2) 当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简
化，可以同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量。 (3) 拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域
中两函数的乘法运算。
第二章 拉普拉斯变换
2.1 拉氏变换的概念
2.1.1问题的提出 利用单位阶跃函数 u(t ) 和指数衰减函数 e t (β＞0)所具有的
f (t )
A t0
0
（2.20）
其拉氏变换为
（2.21）
t0
t
图2.4 脉动函数
第二章 拉普拉斯变换 (6) 脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。
A lim g (t ) 0 0 0t t 0, t
（2.22）
其拉氏变换为：
A L[ g (t )] lim (1 e s ) 0 s d A(1 e s ) As lim d A 0 d s s d
a(t ) 表示。发生在t＝t
0时的单位加速度函数通常写
1
第二章 拉普拉斯变换 成 a(t t0 ) ，如图2.6(b)所示。
a(t )
8 6 4 2
0
a(t t0 )
1 2 3 4
(a)
t
0
t0
(b)
t
图2.6 单位加速度函数
单位加速度函数
0 a(t ) 1 2 t 2
这里的脉动函数可以看做是一个从t＝0开始的高度为A/t0的
阶跃函数，与另一个从t＝t0开始的高度为A/t0的负阶跃函数叠 加而成，如图2.4所示，即
A A f (t ) u (t ) u (t t0 ) t0 t0
A A L[ f (t )] L u (t ) L u (t t0 ) t0 t0 A A st 0 A e (1 e st 0 ) t0 s t0 s t0 s
第二章 拉普拉斯变换 单位阶跃函数 u(t )
0 u(t ) 1 t 0 t 0

（2.10）
其拉氏变换为
L[u (t )] e st dt
0
1 s
（2.11）
实际上，发生于 t 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t 0时， 把一个定常信号突然加到系统上。 高度为A的阶跃函数，即式 （2.8）中的 f (t ) ，当其发生在 t 0 时，可以写成 f (t ) Au(t ) 。 (3) 斜坡函数
t 特点，分别构成两个新的函数 (t )u(t ) 和 (t )e，这时， (t )u(t )
的积分区间由(-∞，∞)变成
[0, )，在积分区间 [0, )内
(t )u(t ) (t ) ；而 (t )e t 就有可能变得绝对可积。
如果再构成一个新的函数
(t )u(t )e t
(t t0 )
d u (t t0 ) dt
（2.25）
相反，如果对单位脉冲函数 (t t0 ) 积分
(t t )dt u(t t )
t0 0 0
t
（2.26）
积分的结果就是单位阶跃函数 u(t t0 ) 。
第二章 拉普拉斯变换 利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行 微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应 的不连续点上的量值。 (7) 加速度函数
（2.15）

1 st 1 e dt 2 s 0 s
t 0 t 0
f (t )
(4) 正弦函数
0 f (t ) A sin t
f (t )
（2.16）
式中，A和ω为常数，如
图2.3(a)所示。
0
t
(a)
0
t
(b)
图2.3 正弦函数和余弦函数
第二章 拉普拉斯变换 根据欧拉公式
脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非 常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
第二章 拉普拉斯变换 当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉 冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时 间内向系统提供能量。 单位脉冲函数 (t t0 ) 可以看作是单位阶跃函数 u(t t0 ) 在间 断点 t t0上的导数，即
L[ Ae t ] Ae t e st dt A e ( s )t dt
0 0
A s
（2.7）
可以看出，指数函数在复平面内将产生一个极点。
第二章 拉普拉斯变换 (2) 阶跃函数
0 f (t ) A t 0 t 0
（2.8）
式中，A为常数。 其拉氏变换为
在常数M>0及c≥0，使得
|f(t)| ≤Mect，0≤ t
成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c为 它的增长指数）。 则
f (t )的拉氏变换
F (s) f (t )e st dt
0

（2.5）
在半平面 Re (s) c上一定存在，右端的积分在 Re (s) c1 c
第二章 拉普拉斯变换 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 为解析函数。 即：如果拉氏积分收敛，则时间函数 f (t ) 的拉氏变换存在。 1. 常用函数的拉氏变换
R e ( s) c
F 半平面内， (s)
(1) 指数函数
0 f (t ) t Ae
t 0 t 0
（2.6）
式中，A和α为常数。 其拉氏变换为


（2.23）
当面积A=1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克 (Disac)函数，如图2.5(a)所示，用 (t ) 表示。发生在t = t0处的 单位脉冲函数通常用 (t t0 ) 表示，如图2.5(b)所示。此时，
第二章 拉普拉斯变换
(t )
1
(t t0 )
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， 即时间函数 (t ) 的傅立叶变换存在。
第二章 拉普拉斯变换 对式（2.1）取傅立叶变换，得
G ( ) (t )u (t )e t e jt dt

(t )u (t )e
第二章 拉普拉斯变换
第二章
本章学习要点：
拉普拉斯变换
拉氏变换的概念；
拉氏变换的性质；
常用函数的拉氏变换；
拉氏逆变换； 卷积定理。
第二章 拉普拉斯变换
拉氏变换法的优点：
(1)从数学角度看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程 的工具。可以分别将“微分”与“积分”运算转换成“乘 法”和“除法”运算，即把积分微分方程转换为代数方程。
1
t≥0
（2.4）
式（2.4）式（2.3）为一对互逆的积分变换公式，我们也称
F (s) 和 f (t ) 构成了一个拉氏变换对。
第二章 拉普拉斯变换 2.1.2 拉氏变换的存在定理 若时间函数
f (t )满足下列条件：
(1) 在t≥0的任一有限区间上分段连续；
f (2) 当 t 时，(t ) 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存
（2.3）
f 即时间函数 F (s)为 f (t ) 的拉普拉斯变换。在这里，(t ) 称为“原
F (s 函数”， ) 称为“象函数”。
从拉氏变换 F (s)求时间函数 f (t ) 的逆变换过程称为拉普拉斯 逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为 L1。
1 j st L [ F ( s)] f (t ) j F (s)e ds 2j
(t ) ，必须明确地指出拉氏积分的下限是0－还是0＋。
L [ f (t )] f (t )e st dt
0
L [ f (t )] f (t )e dt f (t )e dt L [ f (t )]
st st 0 0
0
（2.31）
(t ) ，则
L[ A] Ae st dt
0
A s
（2.9）
当A＝1时的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图2.1(a)所示， 用