故有 B 1.25 1 ，因而雅可比迭代法不收敛。 （2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为
0 0.5 0.5 B 0 0.5 0.5 0 0.5 0
其特征值为 1 0, 2 3 0.5 故有 B 0.5 1 ，因而雅可比迭代法收敛。
x 的不动点：
1） x 是在其定义域内是连续函数； 2） x 的值域是定义域的子集； 3） x 在其定义域内满足李普希兹条件。 3.解：参照幂法求解主特征值的流程 步 1：输入矩阵 A，初始向量 v0，误差限 ，最大迭代次数 N; 步 2：置 k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞; 步 3：计算 vk=Auk-1; 步 4：计算 （2 分） （2 分） （2 分） （8 分）
0.6931746
（2 分） （2 分）
五．解：由零点定理， x cos x 0 在 (0, 由牛顿迭代格式 xn 1 xn 取 x0

2
) 内有根。
n 0,1,......
（2 分）
xn cos xn 1 sin xn
（4 分）

4
得，
x1 0.73936133;
3
a
3
a
3

1 0。 2
（2 分）
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 6 页）
xi yi yi
并估计误差。 （10 分）
1 2
2 4 3
3 12
四．试用 n 1, 2, 4 的牛顿-科特斯求积公式计算定积分 I
1
0
1 （10 分） dx 。 1 x
五．用 Newton 法求 f ( x) x cos x 0 的近似解。 （10 分）
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 1 页）
（2 分）
（2 分） （1 分）
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 5 页）
八．证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分） 1. 证：该问题的精确解为 y( x) y0e
步 6：若 k<N,置 k:=k+1, μ:=mk，转 3；否则输出计算失败 信息，停止 三． 解： （1）利用插值法加待定系数法： 设 p2 x 满足 p2 1 2, p2 2 4, p2 3 12, 则 p2 x 3x 7 x 6, （3 分）
一. 填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 1.设有节点 x0 , x1 , x2 ，其对应的函数 y f x 的值分别为 y0 , y1 , y2 ，则二次拉 格朗日插值基函数 l0 ( x) 为 。
2. 设 f x x 2 ， 则 f x 关 于 节 点 x0 0 , x1 1 ,x2 3 的二阶向前差分 为 。
*
（1 分）
六．解：对系数矩阵做三角分解：
2 5 6 1 0 4 13 19 l 21 1 6 3 6 l31 l32
0 u11 u12 0 u22 1
u13 u23 u33
（2 分）
七．解： （1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为
0 0.5 0.5 B 1 1 0 0.5 0.5 0
其特征多项式为 det( I B)
（2 分）

2
1.25 ，且特征值为
（2 分） （1 分）
1 0, 2 1.25i, 3 1.25i
5 xn a 2, 6 6 xn n 0,1, 2,
2.证：牛顿迭代格式为 xn 1
（3 分）
因迭代函数为 x 则
5 a 5x a 2 , 而 x 3 , 又 x* 3 a ， 6 3x 6 6x
a 5 6
3
（2 分）

故此迭代格式是线性收敛的。
判断其是否收敛？（10 分）
y y 八．就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。 （10 分） y (0) y0
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 2 页）
1 1 0 2 3.设 A 1 1 1 ， x 3 ，则 A 1 ＝ 0 1 1 3
， x1
。
4. n 1 个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？ x 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点 迭代序列收敛于 x 的不动点？ 3. 设 n 阶矩阵 A 具有 n 个特征值且满足 1 2 3 求解矩阵 A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于 3 的多项式 P3 x ，满足下列插值条件： 请简单说明 n ，
《数值分析》（A）卷标准答案
（2009－2010－1） 一． 填空题（每小题 3 分，共 12 分）
) ； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1 。 ( x0 x1 )( x0 x2 )
（4 分）
二．简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 对于对称正定阵 A，从 aii
2
再设 p3 x p2 x K x 1 x 2 x 3
（3 分） （1 分） （1 分） （2 分） （2 分） （1 分） （2 分） （1 分）
K 2
p3 x 2 x3 9 x 2 15x 6
1 4 2 f x 1 x 2 x 3 4! 1 四．解：应用梯形公式得 I I1 f 0 f 1 2 0.75
六．试用 Doolittle 分解法求解方程组：
5 6 x1 1 0 2 4 1 3 1 9 x 1 9（ 10 分） 2 6 3 6 x3 3 0 20 x1 2 x2 3x3 24 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组 x1 8 x2 x3 12 的迭代格式，并 2 x 3x 15 x 30 2 3 1
（2） R3 x 应用辛普森公式得： I I 2
1 1 f 0 4 f f 1 6 2
0.69444444
应用科特斯公式得：
I I4
1 1 1 3 7 f 0 32 f 12 f 32 f 7 f 1 90 4 2 4
x2 0.739085178
x3 0.739085133 x4 0.739085133
（3 分）
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 4 页）
故取 x x4 0.739085133
x
（2 分） （2 分）
欧拉公式为 yi 1 yi h yi (1 h) yi 对任意固定的 x xi ih ， 有 yi y0 (1 h) 则 y0e
xi
xi / h
y0 [(1 h)1/ h ] xi ，
（2 分） （1 分）
y( xi )
vk r
max vk i ;
1i n
并置 mk:=[vk]r, uk:=vk/mk; 步 5：若|mk- μ |< ，计算，输出 mk,uk；否则，转 6；
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 3 页）
1 2 5 6 A 2 1 3 7 LU 4 3 4 1
若 Ly b ，则 y1 10, y2 1, y3 4 ； 若 Ux y ，则 x (3, 2,1) 。
T
（4 分）
（2 分） （2 分）

i
2 k 1 ik
l 可知对任意 k i 有 | lik | aii 。即 L 的元素不
（4 分） （2 分）
会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 2. 解： （1）若 x
*
x* ，则称 x* 为函数 x 的不动点。
（2） x 必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于