2 x0 [sin(2ft )]2 p( )d
1 d 0 2 2 1 cos 2( 2ft ) 2 x0 d 0 4 2 x0 2
2 x0 [sin(2ft )]2 2
算例

2 x 2 x 2 x0 2 2 x
• 那两个不同的随机过程不同时刻的随机变量之间 的关系如何描述呢，如某地某个月降水量与另一 个温度之间的关系，如汽车路面激励与汽车座椅 振动之间的关系？这就需要用到互相关函数
Rxy ( ) E[ X (t )Y (t )] Ryx ( ) E[Y (t ) X (t )]
– 互相关函数
Rxy ( ) E[ X (t )Y (t )] Ryx ( ) E[Y (t ) X (t )]
自相关函数的性质。。。
1)
2)
2 2 2 2 mx x RX ( ) mx x (有界性)
Rxx ( ) Rxx (0)(峰值存在 )
概率论知识回顾…..
概率密度函数：
F ( x dx ) F ( x) dF ( x) p ( x) lim dx 0 dx dx
F ( x)

x
p( x1 , x2 ) F ( x1 , x2 ) x1x2 2Fra bibliotekp( )d
F ( x1 , x2 )
x1
X (t )Y (t )
E[ X (t1)Y (t1 )] mx my
x y
• 若X、Y这两个随机变量为某一随机过程两个不同时刻截口t1 及t1＋τ处的两个随机变量X＝X(t1)、Y＝X(t1＋τ)，则
X (t ) X (t )
E[ X (t1) X (t1 )] mx
2
x2
相关函数的定义
• 既然相关系数能够表示两个随机过程之间的相关 E[ X (t1) X (t1 )] 与相关系 性，且 E[ X (t1)Y (t1 )] 数之间具有线性函数关系，必然也具有相同的作 用，即也能描述相关性！！！ • 定义：
– 自相关函数
Rxx ( ) E[ X (t ) X (t )]


性质：
E[ X Y ] E[ X ] E[Y ] E[aX ] aE[ X ]
概率论知识回顾…..
均值
均方值 均方差
x mx E[ X ] xp( x)dx


E[ X ] x 2 p( x)dx
2 x 2

E[(X x ) ]
随机载荷的统计分析与载荷谱
随机载荷的统计
• 通常采用极值法：即统计 极大值和极小值出现的次 数，这主要是因为对零件 疲劳破坏的较大影响主要 是随机载荷的极值 • 变程：两个相邻极值之差 • 无效变程：变程小于最大 变程10％的变程称为无效 变程 • 图11－4
随机载荷的统计分析与载荷谱
载荷谱和程序疲劳寿命
Y my
y
xy
x
X mx
为线性回归方程
x
关于ρxy的讨论
Y my
y
xy
x
X mx
x
xy
E[( X mx )(Y m y )]
x y
• ρxy＝ ± 1，Y、X具有线性函数关系；反之，Y、X具有线性 函数关系，则ρxy＝±1 • 如果Y、X相互独立，则ρxy＝ 0
典型的自相关函数
• 从正弦波到宽带 随机过程的自相 关函数的图形变 化具有从不收敛 到收敛很快的典 型特征。
互相关函数
• 自相关函数：同一随机过程两个不同时刻随机变 量之间的相关关系，即一个随机过程一个截口与 另一截口处的随机变量的关系。如一年中两个不 同时间温度之间的关系
Rxx ( ) E[ X (t ) X (t )]
单调增，
F () 0, F () 1
F ( x1 , x2 ) P{( X 1 x1 ) ( X 2 x2 )
F (, x2 ) F ( x1 ,) F (,) 0 F (,) 1 F ( x1 ,) F ( x1 ); F (, x2 ) F ( x2 );
线性回归方程
• 图11－14 • 线性回归方程：Y=aX+b • 确定a,b采用最小二乘法， 即残差的平方和最小，即
E Y 2 a 2 E X 2 2aEXY 2bEY 2abEX b 2
E (Y 2 ) E Y aX b

随机振动
随机过程及相关分析
随机振动与确定性振动
• 确定性振动：一个系统受到确定性激励后所产生的振动 • 随机振动：一个系统在随机激励下所产生的振动，通常有 如下特点：
– 振动没有固定周期，不能用简单的函数组合加以表达其规律，写 不出运动方程 – 无法预测某一时刻t的振动幅度 – 在相同条件下进行一系列测试，各次测试结果不可能完全一致 – 描述振动的物理量服从统计规律，可以用概率统计方法加以研究 – 例如，汽车平顺性问题，汽车噪声问题
• |ρxy|≤1，即相关系数的绝对值恒不大于1
• 两个独立的随机变量X、Y必不相关，其ρxy＝ 0，但不相关 的两个随机变量未必独立
相关系数的进一步推演。。。
xy
E[( X mx )(Y my )]
x y

E[ XY ] mx my
x y
• 若X、Y这两个随机变量为两个随机过程两个不同时刻截口 t1及t1＋τ处的两个随机变量X＝X(t1)、Y＝Y(t1＋τ)，则
算例
例：有一各态历经的随机过程 X (t ) x0 sin(2ft ) 其中 是取值在0~ 2 范围的等概率密度的 随机变量，求此随机过程的统计特征值 和自相关函数。 解：（一）集合平均方法：
E[ f ( X 1 , X 2 )] f ( x1 , x2 ) p( x1 , x2 )dx dx2
互相关函数的性质
1) Rxy ( ) Ryx ( ) Ryx ( ) Rxy ( )(反对称性 )
2） x y mx my Rxy ( ) x y mx my x y mx my Ryx ( ) x y mx my (有界性)
3)
4）

lim Rx ( ) mx my (收敛性)
2
Rxy ( ) Rxx (0) Ryy (0 （峰值存在） )
图11－27
互相关函数的物理意义
• 滞后时间的确定
– 图11－27
• 传递通道的确定
相关函数在汽车中的应用
• 利用自相关函数判断信号中是否含有周期成分的 原理：
若：X (t ) S (t ) N (t ), 其中S(t)为周期函数，N(t) 为随机信号。 S(t)与N(t)互不相关且各态历经， E(N(t)) 0,则 R xx ( ) E ( X (t ) X (t )) ES (t ) N (t )S (t ) N (t ) R SS ( ) R NS ( ) R SN ( ) R NN ( ) 其中R NS ( ) R SN ( ) 0, 当趋于很大时， R NN ( ) 0 R SS ( ) 为周期函数
• 解得
E[ XY ] E[ X ]E[Y ] E[( X mx )(Y m y )] a 2 2 2 E[ X ] ( E[ X ]) x
b E[Y ] aE[ X ]
相关系数和回归方程
• 定义相关系数为： E[( X mx )(Y m y )] xy x y • 则 y a xy x y b m y xy mx x •
2 x 2 2 x
2 x
时间平均：
1 x Et [ X (t )] T

T
0
x(t )dt 0
概率论知识回顾…..
四．平稳随机过程与各态历经过程
平稳随机过程：X(t)的联合概率结构随着时 间t的平移而不发生任何变化。 各态历经过程：时间平均与集合平均相等。 反映一个样本包含了此随机过程的全部信 息。
2 0 2 0

1/ f
0
{sin 2 (2ft ) cos 2f sin(2ft ) sin(2f ) cos(2ft )}dt
1/ f fx cos 2f 2 x02 cos 2f 2
算例
1．可以看出：用集合平均法和时间平均法求 出的结果完全相同。 2．通过例子可以看出：正弦波的自相关函数 是余弦波且与原随机过程具有同周期性。
R 1
算例
x E[ X (t )] E[ x(2ft )]
x( ) p( )d
2 0
1 x0 sin(2ft ) d 0 2
x2 E[ X (t ) X (t )] E[ x 2 0 sin(2ft ) sin(2ft )]


x2
p(1 , 2 )d1d 2
概率论知识回顾…..
条件概率密度函数：
p( x1 , x2 ) p( x1 | x2 ) p( x 2 )
若两个随机变量独立，则：
p( x1 , x2 ) p( x1 ) p( x2 )
概率论知识回顾…..
数学期望E[] 集合平均：
E[ f ( X )] [ f ( x)] p( x)dx
Rxx ( ) E[ X (t ) X (t )] x 0 sin(2ft ) x0 sin(2f (t ) ) p( )d


2
0
1 x {sin (2ft ) cos 2f sin(2ft ) sin(2f ) cos(2ft )} d 2