E[ X (t )] E[ X (t)] x
E[Y (t)] x
h( )d
H () h( )e j d
0
H (0) h( )d
E[Y (t)] x
h( )d
H (0) h( )d
输入与输出均值的关系式为：
E[Y (t)] Y =X H (0)
H(0)是一个常数，它表示输入X(t)与输出Y(t)中，频 率ω=0这一成分（即直流分量）之间的传递关系。
对输出的自相关函数作傅立叶变换，便得到响应 的自功率谱密度SY(ω)为
SY ()
RY
(
)e
j
d
e j
h(1)h(2 )RX
(
2
1 )]d1d 2
d
变换积分次序，并重新排列
SY ( )
h(
1
)e
j1
d1
h( 2
)e j2
d2
RX
(
2
1
)e j( 2 1
)d(
2
1
上式是随机振动理论中一个极其重要的公式，指出 了输入、输出与系统动态特性三者之间的关系。
SY () H ()H ()SX () H () 2 SX ()
上式表明，若已知系统的增益因子|H(ω)|和输入的自 谱密度SX(ω)，则可确定输出的自谱密度SY(ω)。
事实上，若已知SX(ω) 、|H(ω)|和SY(ω) 三者中的任意 两个，就可以确定第三个。 此外，响应的自谱密度是与系统的h(
1
)e
j1
d1
h( 2
)e j2 d2
RX (
2
1
)e j( 2 1 )d(
2
1
)
令ξ=τ-θ1+θ2，由维纳—辛钦关系式知，最后一个积 分就是激励X(t)的自谱密度：
SX ()
RX
(
)e
j
d
第二个积分就是脉冲响应函数h(θ2)的傅立叶变换， 即频率响应函数H(ω)。
对于确定性振动，激励与响应之间的关系，一般 用微分方程来描述，方程的非齐次项是确定的， 初始条件也是确定的，因此响应也是确定的。
在随机振动中，一般激励与响应都必须用概率统 计的方法来描述。在激励与系统特性已知的情况 下，只能求出响应的一些统计特征，如期望（均 值）、相关函数、功率谱密度、均方值等。
H ()
h(
2
)e
j2
d
2
SY ( )
h(
1
)e
j1
d1
h( 2
)e j2
d2
RX
(
2
1
)e j( 2 1 )d(
2
1
)
前两个积分的不同在于指数中的正负号的差别。
H () H ()
h(1
)e
j
1
d1
经处理后得随机输入与输出的自谱密度关系式:
SY () H ()H ()SX () H () 2 SX ()
H (0) y(t) x(t)
直流分量
E[Y (t)] Y =X gH (0)
上式表明，当输入是平稳过程时，输出的均值与 输入的均值只差一个乘子H(0)。 若输入的均值为零，则输出的均值也一定为零。 此结论可以推广到多输入与多输出的情形。
二、响应的自相关函数
输出过程Y(t)的自相关函数定义为: E[Y (t)Y (t )]
四、响应的均方值
已知响应的自谱密度SY(ω)，则可计算出响应的均方 值E[Y2]:
E[Y
2
]
RY
(0)
1 2π
SY ()d
将随机输入与输出的自谱密度关系式代入上式
E[Y
2]
2 Y
1 2π
2
H ()
SX ()d
注意：当均值为零时，均方值就等于方差。
2 Y
2 Y
E[Y
2]
2 Y
1 2π
2
H ()
7-1 单输入单输出的线性系统
假定常参数线性系统只受到一个输入x(t)的作用，其 相应的响应(输出)为y(t)，如图所示。
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
本章研究输入、输出和系统动态特性三者之间的 关系，以及计算响应（输出）的统计特征的方法
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
设x(t)是平稳随机过程X(t)的一个样本函数 则系统输出y(t) 是另一平稳随机过程Y(t)的一个样本函数 设系统的脉冲响应函数h(t)， 则频率响应函数是H(ω)。
SX ()d
在输入为理想白噪声的情况下，由于输入的自谱密 度对于所有的频率都是常数，则响应的均方值公式 可得到简化:
2 Y
S0 2π
2
H () d
只要计算出如下的广义积分I值，便可求得响应的均 方值：
则响应的自相关函数可表示为:
RY ( ) E[Y (t)Y (t )]= h(1)h(2 )RX ( 2 1)]d1d2
上式为输出的自相关函数之间的关系式。 该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机 过程，则响应的自相关函数与自然时间无关，也一定 是平稳的随机过程。
三、响应的自功率谱密度函数
第七章 随机振动的响应分析
第七章 随机振动的响应分析
§7-1 单输入单输出的线性系统 §7-2 多输入多输出的线性系统
本章讨论机械或结构系统在随机激励作用下， 激励—系统—响应三者之间的关系。
系统有线性与非线性之分。大量工程问题，线性 模型可得到逼真的结果。本课程只讨论线性系统 问题。
随机激励分两类：参数激励与非参数激励 参数激励：系统本身的某些参数(如质量、刚度、 阻尼等)随时间随机地变化而引起振动。 非参数激励即由外界施加的激励。 非参数激励又分为平稳的和非平稳的两类。
一、响应的均值
对于输入的一个样本函数，由卷积积分公式，可得 输出的一个样本函数
y(t) x(t )h( )d
y(t) x(t )h( )d
设想对于输入中的每个样本函数，都可按上式写出
其对应的输出的样本函数。于是，可得到输出的集
合平均为:
E[Y (t)]
E
X (t
)h(
)d
E[Y (t)] E[X (t )]h( )d
本章研究常参数线性系统对平稳随机激励的 响应
当系统的激励(输入)是平稳过程时，由于常参数的 假设，系统的响应(输出)也一定是平稳的。
对于一个常参数线性系统，它往往可能在不同位置 上同时受到激励，即有多个输入；其响应也可能有 很多个，而且不同位置处的响应也不同。
对于线性系统来说，多输入与多输出问题可以在单 输入与单输出问题的基础上应用叠加原理得到解决