大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。

10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导第一章 函数一．本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。

二．复习要求1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。

2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。

3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。

其中⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 xy e=互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln vu v ue =⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。

5、 知道分段函数，隐函数的概念。

. 三．例题选解例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2sin x y e =⑵.21arctan()1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。

解：⑴.2,,sin u y e u v v x===⑵.21arctan ,, 1.y u u v x v===+例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答：cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是(,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=.cot14arc π=四．练习题及参考答案1. ()arctan f x x =则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = .2.()arcsin f x x =则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) =；f = .3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3ln(1)y x =- 答案：1.（-∞ +∞）, (,)22ππ-,,04π2. []1,1,,,,2223ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.3. ⑴.,3u y e u x ==-⑵.3ln ,1.y u u x ==-自我复习：习题一.（A ）55．⑴、⑵、⑶；习题一.（B ）.11.第二章 极限与连续一．本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。

二．复习要求1．了解变量极限的概念，掌握函数f (x )在x 0点有极限的充要条件是：函数在x 0点的左右极限都存在且相等。

2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。

例如：1sin lim sin0,lim0x x xx xx→→∞==3.会比较无穷小的阶。

在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有： 当()x α 0时,有：sin ()x α～()x α； tan ()x α～()x α()1x e α-～()x α;ln(1())x α+～()x α;1～()x nα1cos ()x α-～2()2x α.…….（参见教材P79）4.掌握两个重要极限:(Ⅰ).0sin lim1x xx→=(Ⅱ).101lim(1)lim(1)xx x x e x x→∞→+==+记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求1∞型未定式极限：10lim(1)lim(1)xk x x x k e kx x→∞→+==+ 10lim(1)lim(1)x kx x x k e kx x-→∞→-==- 5.掌握函数连续的概念， 知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。

函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条是：函数在x 0点极限存在且等于0()f x ，即：0lim ()()x x f x f x →=当分段函数在分段点0x 的左右两边表达式不相同时，函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条件则是：0lim ()lim ()()x x x x f x f x f x -+→→==.6. 掌握函数间断点及类型的判定。

函数的不连续点称为间断点，函数()f x 在0x 点间断，必至少有下列三种情况之一发生：⑴、()f x 在0x 点无定义；⑵、0lim ()x x f x →不存在；⑶、存在0lim ()x x f x →，但00lim ()()x x f x f x →≠.若0x 为()f x 的间断点，当)(lim 0x f x x +→及)(lim 0x f x x -→都存在时，称0x 为()f x 的第一类间断点，特别)(lim 0x f x x +→＝)(lim 0x f x x -→时（即0lim ()x x f x →存在时），称0x 为()f x 的可去间断点；)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→≠时称0x 为()f x 的跳跃间断点。

不是第一类间断点的都称为第二类间断点。

7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。

8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。

三.例题选解例1.单项选择题⑴下列极限中正确的是（ ）A.sin lim1x xx→∞= B. 1sin lim11x x x→∞=C. 20sin lim1x x x→= D. 0tan lim 1x x x →= ⑵ 当0x →1是2sin x 的（ ）A.低阶无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；D. 等价无穷小； 分析与解：⑴． A 与 C 显然都不对，对于D, 记tan ()xf x x=， 则tan 0()tan 0x x xf x x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪-⎩∴0tan lim ()lim 1x x xf x x++→→==tan lim ()lim 1x x xf x x--→→==--0lim ()x f x +→≠即D 也不对，剩下的B 就是正确答案。

⑵． 由于222200022lim lim 1x x x x x x x →→→=== ∴ 应选择D. 例3.求极限：⑴0lim x →2ln(1)1cos x x-- ⑵lim x →∞2()5xx x --解: ⑴ 此极限为00型 ∵当0x →时，有2ln(1)x -～2()x -, 1cos x -～22x∴0lim x →2ln(1)1cos x x-- 220lim 22x x x →-==-⑵ 此极限为1∞型，可用重要极限()II 。

lim x →∞2()5x x x -- ＝xx x )531(lim -+∞→x x x x x ⋅-⋅-∞→-+=5335)531(lim x x x x x ⋅--∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=5335)531(lim3e =. )353lim 53lim(=-=⋅-∞→∞→x x x x x x Θ例2．判断函数2296x y x x -=-- 的间断点，并判断其类型。

解：由于229(3)+3)6(3)(2)x x x y x x x x --==---+（∴3,2x x ==-是函数y 无定义的点，因而是函数y 的间断点。

∵33(3)(3)36limlim (3)(2)25x x x x x x x x →→-++==-++∴ 3x =为函数 y 的可去间断点； ∵22(3)(3)3limlim (3)(2)2x x x x x x x x →-→--++==∞-++∴ 2x =-为函数 y 的第二类（无穷型）间断。

例3．函数21cos 2()00x f x x x x k ⎧-⎪⎪=≠⎨⎪=⎪⎩在点0x =处连续，求常数k .分析与解：由于分段函数()f x 在分段点0x =的左右两边表达式相同，因此()f x 在0x =连续的充要条件是lim ()(0).x f x f k →==∵2220001cos 82lim ()lim lim x x x x x f x x x→→→-==代换1.8=∴1.8k =四.练习题及参考答案1.填空⑴.当0x →时，(1)sin 2xe x -与1)ln(12)x +相比，是__________________无穷小； ⑵.21lim()23xx x x →∞-=+ __________________；⑶.220[cos(3)1]tan3lim (1)ln(15)xx xx e x →-=-+______________. 2.单项选择题 ⑴．设2(3)(2)56x x y x x +-=-+，下面说法正确的是________；A. 点3,2x x =-=都是可去间断点；B. 点2x =是跳跃间断点，点3x =是无穷间断点；C. 点2x =是可去间断点，点3x =是无穷间断点；D. 点2x =是可去间断点，点3x =是跳跃间断点；⑵．下面正确的是______________. A.0tan lim1x xx→= ； B. 01lim sin 0x x x →=；C. 0tan limx xx→不存在； D. 0tan lim1x x x →=. 答案:1. ⑴.同阶而不等价的 ；⑵.2e - ；⑶.320-. 2. ⑴.C; ⑵.B .自我复习.习题二(A) 11. (4).24. ⑴,(4),⑺.27.⑴. (4).28.⑴,⑵. 30.⑵.37．⑴,⑶. 习题二(B).14.第三章 导数与微分一.本章重点.导数的概念，导数及微分的计算.二.复习要求1.掌握函数()x ƒ在0x 处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。

导数是一个逐点概念，()x ƒ在0x 处的导数的定义式常用的有如下三种形式：0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆000()()limh f x h f x h→+-=00()()limx x f x f x x x →-=- .2.知道导数的几何意义，会求()x ƒ在0x 处的切线方程。

3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数： ⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导； ⑵复合函数求导法； ⑶隐函数求导法； ⑷取对数求导法。