垂直平分线与角平分线
【专题简介】
我们生活在一个充满对称的世界中,从自然景观到艺术作品,从建筑物到交通标志,甚至日常生活用品中,人们都可以找到对称的影子.中垂线和角平分线是重要的轴对称条件,与之相关的辅助线技巧也非常丰富
【学习目标】
1.理解中要线的性质及其常规辅助线
2.找找与角平分线相关的辅助线证法
模块一 垂直平分线的性质和判定
平分线的性质和判定
垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线 垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
【例1】如图,AB=AC,BD=CD,E 是AD 廷长线上一点,求证:BE=CE
B C
A
E
【练1】证明:三角形三边的垂直平分线交于一点
【例2】△ABC 的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ；若∠BAC+∠DAE=150°,求∠BAC D
E A
B C
【练2】△ABC 中，∠B=22.5°，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，交BC 边上高于G ，求证：EG=EC
E
D B C
A
模块二 角平分线
角平分线的性质与判定:
（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线
（2）角平分线的性质定理
如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
（3）角平分线的判定定理
如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的分线:在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

强化挑战
【例3】△ABC 中,D 为BC 中点,DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E,EF ⊥AB 于F ；EG ⊥AC 的延长线于G.求证:BF=CG.
B A
【练3】(2015武汉二中八上期中)已知,∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ 相交于点P ,PM ⊥AC,PN ⊥AB,垂足分别为M 、N,AB=3,AC=7,求CM 的长度？
M C A
【例4】如图,点C 为线段AB 上一点,△ACM 、△CBN 是等边三角形.请你证明:CF 平分∠
AFB B
C
【练4】（2014武珞路八上期中）如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a,AD 、BE 交于点H,连CH.(1)求证:△ACD ≌△BCE;(2)求证:CH 平分∠AHE;(3)求∠CHE 的度数.(用含a 的式子表示
) E
A
C
【例5】如图,已知等腰△ABC,∠BAC=108°,AB=AC,BD 平分∠ABC 且交AC 于点
D,求证:AB+CD=BC B C A
【练5】如图,已知等腰△ABC,∠BAC=100°,AB=AC,BD 平分∠ABC 且交AC 于D,求证:BD+AD=BC
A
B C
【例6】(2014汉阳区八上期中)如图,在△ABC 中,∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE 相交于点F.求证:①AC=AE+CD ；②FE=FD
C B
A
【练6】已知Rt △ACB,其中∠C=90°,BE 、AF 分别是∠ABC 与∠CAB 的平分线交于点l ，IM ⊥BE 交AB 于M,IN ⊥AF 交AB 于N,求证:S BCN ICF S S
F
E
A B
【例7】已知△ABC 为等腰直角三角形,AB=CB,∠ABC90°，AE 平分∠CAB,过C 作CD ⊥AE 于D 求证
:AE=2CD.
D A
C
【练7】如图,已知Rt △ABC,∠B=90°,DA ⊥AC,∠BAC=∠ADC,DH ⊥BC 延长线于H,AG ⊥DH 于G,求证:G 是DH 中点
G
B A C
【例8】如图,锐角三角形△ABC 中,∠ABC=2∠C,BE 平分∠ABC,交AC 于E,AD ⊥BE 于D,求证:AC=2BD
A
B C
【练8】已知:如图,AD 平分∠BAC,AD=AB,CM ⊥AD 于M.猜想线段AB 、AC 之和与线段AM 有怎样的数量关系,并证明你的结论
B
C A
综合练习
【练9】如图AD=BC,DF=CA,∠C=∠D,AD 交BC 于点H,AE ⊥BC 于点E,点F 在BC 上
(1)若AN 是△AEC 的角平分线,求证S △AEN :S △ACN =AE:AC;
(2)当∠B=∠BAH+12°时,求∠B 的度数
B C
A
【练10】(外校每日一练)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(-t,0),点B的坐标是(t,0),点C的坐标是(0,t),其中t>0.点D和点E分别是AC延长线和反向延长线上的点,CD=AE.CF⊥BD于点F,直线CF交x轴于点G,直线GE交DB于点M
（1）求证:GB平分∠CGM;
（2）试判断∠D与∠GEC之间的数量关系,并说明你的理由;
y
第6讲8年级尖端班课后作业
【习1】已知:如图,BC＞AD,DC=AD,BD
平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°.
C
B
A
【习2】如图所示,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线
,BE⊥AD于E.求证:BE=-(AC-AB) D
C
【习3】已知,如图,四边形ABCD中,BD平分∠ABC,
∠A+∠C=180°,且AB>BC；求证:AD=DC
C
D
A
【习4】如图,已知AC ∥BD,EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA,CD 过点E.求证:AB=AC+BD
C A
【习5】如图，△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC,DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E 、F,则下列四个结论:①AD 上任意一点到点B 、C 的距离相等;②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等:③AD ⊥BC,且BD=CD;④∠BDE=∠CDF,其中正确的有( )
A. ①②；
B.①③；
C.①②④；
D.①②③④
D B C
A
【习6】如图所示,I 是△ABC 三内角平分线的交点,IE ⊥BC 于E,A 延长线交BC 于D,CI 的延长线交AB 于F,下列结论:①∠BIE=∠CID;②S △ABC =12 (AB+BC+AC);③BE=12
(AB+BC-AC);④AC=AF+DC,其中正确的结论是（ ） A. ①②③；B. ①②④；C.②③④；D.①②③④
A
B C
【习7】已知如图,AP 平分∠BAF,PB ⊥AB,PD ⊥EF,DE=DF;求证:AF-AB=BE,
B E F
A C
【习8】在△ABC 中,E 为BC 边的中点,DE ⊥BC 于E 点,交AC 于D 点,求证:AB<AC
E A
【习9】如图,AD 是△ABC 的角平分线,求证
AB:AC=BD:CD
D A
B
C
【习10】如图所示,BD 是∠ABC 的平分线,AB=BC,点P 在BD 上,PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、M.求证:PM=PN
B C
【习11】(2014江岸区八上期中)如图,在四边形ABCD 中,BE 、CF 分别平分∠ABC 、∠BCD,BE 、CF 相交于点O,BE 交CD 于E,CF 交AB 于F 。

(1)试写出∠A,∠D ，∠BOC 的数量关系,然后证明(2)若∠A+∠D=240°,求证
:OE=OF
A
B C
【习12】已知直角△ABC,∠ACB=90°,CH⊥AB于H,AD平分∠CAB交CB于D,交CH于E，过D作DF⊥CH 于H,求证:①CE=CD,②CF=EH
H
C
【习13】如图,直角坐标系中,A、B分别为x轴,y轴正半轴上的点（OA>OB）,AB的垂直平分线交x轴于C，BD与BC关于y轴对称.(1)若∠CBD=40°,求∠A的度数:(2)若△ABD周长为13,AB=6,求△BDC周长;(3)当A、
B运动时,给出两个结论：①BD OD
OA
+
为定值;②
BD OD
OA
-
为定值,其中有且只有一个正确,请选择正确结
论,证明并求值
x
y
【习14】己知Rt△ACB,其中∠C=90°,BE、AF分别是∠ABC与∠CAB的平分线交于点I，求证：
1
2
AIB ABFE
S S
=
E F
A
【习15】已知:等腰△ABC,AB=AC,BD平分∠ABC且交AC于点D;若BC=AB+AD；求∠BAC, 【习16】已知:等腰△ABC,AB=AC,BD平分∠ABC且交AC于点D:若BC=AB+CD，求∠BAC,。