习
求| a b | .
解
| a b | | a || b | sin ( a , b ) a b 10 1 co s( a , b ) | a || b | 4 5 2 2 sin ( a , b ) 1 co s ( a , b )
且在 y , z 轴
上有相同的非零截距的平面方程。 解 即 或 过已知直线的平面束方程为
2 x y 2z 1 ( x y 4 z 2) 0 ( 2 ) x ( 1) y ( 4 2 ) z 1 2 0
x 2 1 2
2 2 2
2
习
题
2
课
y
(5)
第 七 章
2x
y, y x z , y 1
1 2 co s


3
3

|2A B | 2 1 5
2
2
A B
2
2
即
3 A 8 AB 3B 0
2
3 A B 0或 A 3B 0
所求平面方程为
x 3y 0
或
3x y 0
-5-
例6 求平行于点
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
z
x y ,z 2 x y
2 2
z 2 x y
2
2
x2 y2 1 z 1
z
z
o
z
2 2 x y
x y
2
2
y
x
z
2 2 x y
2
o x
y
(4)
- 18 -
z
x y ,2 z x y
x y
2

x 1
2 1
即
z1 z , x1 x y 1
2 2
由于
z1 x 1
所以
z x y 1
2 2
所求曲面方程为
x y z 1
2 2 2
这是单叶双曲面
- 14 -
习
题
课
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
x y z 0 例14 求曲线 2 2 x y z 0 解 从曲线的方程中消去 z 得
2 2 2 2
| a b | 2 2
-1-
例2
第 七 章
设向量 c 3, c 由于 c
| c |
与
垂直于 a { 2 , 3 , 1}, b {1, 2 , 3 }, y 轴的夹角成钝角，求 c .
习
题
课
且
解
空 间 解 析 1 2 3 几 何 由于 | c | 3 , 所以 与 向 2 2 2 2 量 3 (7 (7 ) (7 ) 7 代 1 数 1, 又因 c j 0 , 所以 , 即 7 7 c {1, 1, 1}
4) 5) 6) y 2x z
2 2 2 2
椭圆抛物面
2
x y 2z 1 y x z
2 2 2
双叶双曲面
- 12 -
圆锥面
习
题
课
例13
第 1) 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
求下列曲线绕 z 轴ຫໍສະໝຸດ 转一周所得的旋转面方程z 2( x y ) z O1 M 1 M
-2-
垂直于a , b , 所以 c 与 a b 共线，所以 i j k 3 1 (7 i 7 j 7 k ) c a b 2
3 | |
习
题
课
例3 求以点 A ( 3 , 4 , 1), B ( 2 , 0 , 3 ), C ( 3 , 5 , 4 ) 为顶点的 三角形面积。
3 2
所以
| a b | 5 4 3 2 10 3
-4-
习
题
课
例5 求过 z 轴且与平面 2 x y 5 z 0 夹角为
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数

3
的
平面方程. 解 过 z 轴的平面方程的一般形式为
Ax By 0
由于和平面 2 x y 5 z 0 的夹角为 , 所以
[ ss 1 M M 1 ] 3 0 37
m
n 1 3
p 2 4
10m 12n 9 p 0

m 12 p, n
p
x1 48
- 10 -

y 37

z4 4
4
例11
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
习 题 课 2 x y 2z 1 0 求通过直线 x y 4z 2 0
习
题
课
第七章习题课
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
例1 已知 解 而 所以
| a | 1 3 , | b | 1 9 , | a b | 2 4 ,
求
|a b |.
2 2 2 | a b | | a | 2 a b | b | 2 2 2 | a b | | a | 2 a b | b | 2 2 2 2 | a b | 2 | a | 2 | b | | a b | 2(1 3 1 9 ) 2 4 2 2
2 2 2

|D3| 15
D 27, 或 D 33
11 x 2 y 10 z 27 0
或
11 x 2 y 10 z 33 0
-6-
习
题
课
例7 通过直线 L :
第 七 章
x1 2

y1 3

z1 4
且垂直于平面
2 x y z 0 的平面方程. 解 所求平面的法向量 n 垂直于已知直线方向向量 s 空 和已知平面法向量n 1 , 所以 间 n s n 1 { 2 , 3 , 4 } { 2 , 1, 1} {1, 1 0 . 8 } 解 析 (1, 几 所求平面过已知直线,因此过点 1, 1), 所以所求平面 何 与 方程为 向 量 x 1 1 0( y 1) 8( z 1) 0 代 数 即 x 10 y 8 z 3 0
-7-
习
题
课
例8
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
求过点M (1, 2 , 3 ) 且与三坐标轴成等角的直线
方程.
解
设所求直线的单位方向向量为
s {co s , co s , co s }
, 所以
由题意
3 co s 1
2
co s
6
1
5
1 1 1 2 2 2 {( 2 4 ) ( 1 9 ) ( 2 5 ) } 2 S | AB AC | 2 2 1 1562 2
-3-
例4
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
题 课 | 已知a | 4 , | b | 5 , a b 1 0 ,
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
解
A B { 1, 4 , 4 } A C { 6 , 1, 5 } i j AB AC 1 4
k
4 24i 19 j 25k
2 2
z 2x2 y 0
2)
z x y 1
设 M ( x , y , z ) 为曲面上 任意一点， 它是由曲线
z x y 1 上的点 M 1 ( x 1 , 1, z 1 )
解
o
y
绕z轴 x
旋转而得的， 由题意可知
- 13 -
习
题
2
课
z z1 ,
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
2 2
在各坐标面的投影
x y x y 0
曲线在 x o y 投影曲线为
x2 y2 x y 0 z 0
从曲线的方程中消去 x 得
2 y z 2 yz z 0
2 2
曲线在 yo z 投影曲线为
2 y 2 z 2 2 yz z 0 x 0

y 2 1

z 2 1
1
4 2 1 根据题意有 1 4 2 3
1
所求平面方程为
7 x 2 y 2z 1 0
- 11 -
习
题
课
例12
1)
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
指出下列方程所表示的图形
2 2
x y z
{ 3 3 , 6 , 3 0 } 3{1 1, 2 ,1 0 }
11 x 2 y 10 z D 0 设所求平面方程为 点 C 到其距离为2 , 因此
2
| 11 1 (2) (3) 10 (2) D | 11 (2) 10
- 15 -
习 题 从曲线的方程中消去 y 得
2 2
课
2 x z 2 xz z 0