1．如图，在四棱锥P﹣ ABCD中，底面 ABCD为正方形，平面 PAD⊥平面 ABCD，点M 在线段 PB上， PD∥平面 MAC， PA=PD= ， AB=4．（ 1）求证： M 为 PB的中点；（ 2）求二面角 B﹣PD﹣A 的大小；（ 3）求直线 MC 与平面 BDP所成角的正弦值．【分析】（1）设 AC∩ BD=O，则 O 为 BD 的中点，连接 OM，利用线面平行的性质证明 OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得 M 为 PB的中点；（2）取 AD 中点 G，可得 PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得 PG⊥平面 ABCD，则PG⊥ AD，连接 OG，则 PG⊥OG，再证明 OG⊥AD．以 G 为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A 的大小；（ 3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC 与平面 BDP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，设 AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴ O 为 BD的中点，连接 OM，∵PD∥平面 MAC，PD? 平面 PBD，平面 PBD∩平面 AMC=OM，∴ PD∥OM，则，即M为PB的中点；（ 2）解：取 AD 中点 G，∵PA=PD，∴ PG⊥ AD，∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴PG⊥平面 ABCD，则 PG⊥AD，连接 OG，则 PG⊥OG，由 G 是 AD 的中点， O 是 AC的中点，可得 OG∥ DC，则 OG⊥AD．以G 为坐标原点，分别以 GD、GO、GP所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标系，由 PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣ 2，4，0），M（﹣ 1， 2，），，．设平面则由取平面PBD的一个法向量为，得PAD的一个法向量为，取z=，，得．．∴ cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣ A 的大小为60°；（ 3）解：∴ 直线| =|MC |=|与平面，平面BDP所| =BDP的一个法向量为成角的正弦值为．| cos＜．＞【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中， PA⊥底面 ABC，∠BAC=90°．点 D， E， N 分别为棱PA， PC，BC的中点， M 是线段 AD 的中点， PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证： MN∥平面 BDE；（Ⅱ）求二面角 C﹣EM﹣N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱 PA上，且直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，求线段 AH 的长．【分析】（Ⅰ）取 AB 中点 F，连接 MF、NF，由已知可证 MF∥平面 BDE，NF∥平面BDE．得到平面 MFN∥平面 BDE，则 MN∥平面 BDE；（Ⅱ）由 PA⊥底面 ABC，∠ BAC=90°．可以 A 为原点，分别以 AB、AC、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系．求出平面 MEN 与平面 CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N 的余弦值，进一步求得正弦值；NH 与直线BE （Ⅲ）设 AH=t，则 H（ 0， 0， t），求出的坐标，结合直线所成角的余弦值为列式求得线段 AH 的长．【解答】（Ⅰ）证明：取 AB 中点 F，连接 MF、NF，∵M 为 AD 中点，∴ MF∥BD，∵BD? 平面 BDE，MF?平面 BDE，∴ MF∥平面 BDE．∵N 为 BC中点，∴ NF∥AC，又D、E 分别为 AP、PC的中点，∴ DE∥AC，则 NF∥DE．∵ DE? 平面 BDE，NF?平面 BDE，∴ NF∥平面 BDE．又MF∩NF=F．∴平面 MFN∥平面 BDE，则 MN∥平面 BDE；（Ⅱ）解：∵ PA⊥底面 ABC，∠ BAC=90°．∴以 A 为原点，分别以 AB、AC、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4， AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，，设平面 MEN 的一个法向量为，由，得，取 z=2，得．由图可得平面 CME的一个法向量为．∴ cos＜＞=．∴二面角 C﹣EM﹣N 的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设 AH=t，则 H（0，0，t ），，．∵直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，∴ | cos＜＞| =|| =|| =．解得： t=或 t=．∴当 H 与 P 重合时直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，此时线段 AH 的长为或．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．3．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的， G 是的中点．（Ⅰ）设 P 是上的一点，且AP⊥ BE，求∠ CBP的大小；（Ⅱ）当 AB=3，AD=2 时，求二面角 E﹣AG﹣C 的大小．【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得 BE⊥平面 ABP，得到 BE⊥ BP，结合∠ EBC=120°求得∠ CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点 H，连接 EH，GH，CH，可得四边形 BEGH为菱形，取 AG 中点 M ，连接 EM，CM，EC，得到 EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠ EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣ AG﹣C 的大小．法二、以B 为坐标原点，分别以BE，BP，BA 所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系．求出 A，E，G，C 的坐标，进一步求出平面 AEG与平面 ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 E﹣AG﹣C 的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵ AP⊥BE，AB⊥BE，且 AB，AP? 平面 ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面 ABP，又 BP? 平面 ABP，∴BE⊥BP，又∠ EBC=120°，因此∠ CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点 H，连接 EH，GH，CH，∵∠ EBC=120°，∴四边形 BECH为菱形，∴ AE=GE=AC=GC=．取AG 中点 M，连接 EM，CM，EC，则 EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠ EMC为所求二面角的平面角．又 AM=1，∴ EM=CM=．在△ BEC中，由于∠ EBC=120°，222﹣2×2×2×cos120°=12，由余弦定理得： EC=2 +2∴，因此△ EMC 为等边三角形，故所求的角为 60°．解法二、以 B 为坐标原点，分别以BE，BP， BA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系．由题意得： A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣ 1，，0），故，，．设为平面 AEG的一个法向量，由，得，取 z1=2，得；设为平面 ACG的一个法向量，由，可得，取 z2=﹣ 2，得．∴ cos＜＞=．∴二面角 E﹣AG﹣ C 的大小为 60°．【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题．4．如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角 D﹣AF﹣E 与二面角 C﹣BE﹣F 都是60°．（Ⅰ）证明平面 ABEF⊥平面 EFDC；（Ⅱ）求二面角 E﹣ BC﹣A 的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明 AF⊥平面 EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面 EFDC；（Ⅱ）证明四边形 EFDC为等腰梯形，以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面 BEC、平面 ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ ABEF为正方形，∴ AF⊥ EF．∵∠ AFD=90°，∴ AF⊥ DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面 EFDC，∵ AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面 EFDC；（Ⅱ）解：由 AF⊥DF，AF⊥ EF，可得∠ DFE为二面角 D﹣AF﹣E 的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵ BE⊥EF，∴ BE⊥平面 EFDC即有 CE⊥BE，可得∠ CEF为二面角 C﹣BE﹣ F 的平面角．可得∠ DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面 EFDC，EF? 平面EFDC，∴ AB∥平面 EFDC，∵平面 EFDC∩平面 ABCD=CD，AB? 平面 ABCD，∴AB∥CD，∴ CD∥EF，∴四边形 EFDC为等腰梯形．以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，设则 E（0，0，0），B（0，2a，0）， C （∴ =（0，2a， 0）， =（，﹣ 2a，FD=a，，0，a）， A（ 2a，2a，0），a），=（﹣ 2a，0， 0）设平面 BEC的法向量为=（x1， y1，z1），则，则，取=（， 0，﹣ 1）．设平面ABC的法向量为=（x2， y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣ A 的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣ A 的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．5．如图，菱形 ABCD的对角线 AC与 BD 交于点 O，AB=5， AC=6，点 E，F 分别在 AD，CD上， AE=CF= ，EF交于 BD 于点 H，将△ DEF沿 EF折到△ D′EF的位置， OD′=．（Ⅰ）证明： D′H⊥平面 ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C 的正弦值．【分析】（Ⅰ）由底面 ABCD为菱形，可得 AD=CD，结合 AE=CF可得 EF∥ AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以 H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面 AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C 的平面角为θ，求出| cosθ|．则二面角 B﹣D′A﹣C 的正弦值可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴ AD=DC，又 AE=CF= ，∴，则 EF∥AC，又由 ABCD是菱形，得 AC⊥BD，则 EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵ AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴ OB=4，∴ OH==1，则 DH=D′H=3，∴ | OD′|222=| OH| +| D′H|，则 D′H⊥OH，又 OH∩EF=H，∴ D′H⊥平面 ABCD；（Ⅱ）解：以 H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5， AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面 ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C 的平面角为θ，则 | cosθ|=．∴二面角 B﹣D′A﹣C 的正弦值为 sin θ=．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．6．在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， CA=CB，侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形，点 E，F 分别在线段 AA1、A1B1上，且 AE= ， A1F= ，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面 ABC；（Ⅱ）若 CA⊥ CB，求直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值．【分析】（I）取 AB 的中点 D，连结 CD，DF， DE．计算 DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，由三线合一得CD⊥ AB，故而 CD⊥平面 ABB1A1，从而平面ABB1A1⊥平面ABC；（ II）以 C 为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC1与平面CEF所成角的正弦值等于| cos＜＞|．【解答】证明：（I）取 AB 的中点 D，连结 CD，DF，DE．∵AC=BC，D 是 AB 的中点，∴ CD⊥AB．∵侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形， AE=，A1F=．∴A1E=，EF==，DE==，DF==，222∴ EF+DE =DF，∴ DE⊥ EF，又CE⊥ EF，CE∩ DE=E，CE? 平面 CDE，DE? 平面CDE，∴ EF⊥平面 CDE，又 CD? 平面 CDE，∴ CD⊥EF，又CD⊥ AB， AB? 平面 ABB1 A1，EF? 平面 ABB1A1，AB，EF为相交直线，∴ CD⊥平面 ABB1A1，又 CD? ABC，∴平面 ABB1A1⊥平面 ABC．（ II）∵平面 ABB1A1⊥平面 ABC，∴三棱柱ABC﹣A B C 是直三棱柱，∴111CC⊥平面1ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴ AC=BC= ．以 C 为原点，以 CA， CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，，2）．∴=（﹣，0，2），=（，0，），=（，，2）．设平面 CEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令 z=4，得=（﹣，﹣9，4）．∴=10，| |=6，||=．∴ sin＜＞==．∴直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．7．如图，在四棱锥中 P﹣ ABCD，PA⊥平面 ABCD，AD∥ BC，AD⊥ CD，且AD=CD=2 ， BC=4 ，PA=2．（1）求证： AB⊥PC；（2）在线段 PD 上，是否存在一点 M，使得二面角 M ﹣AC﹣ D 的大小为 45°，如果存在，求 BM 与平面 MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）利用直角梯形的性质求出 AB， AC的长，根据勾股定理的逆定理得出 AB⊥ AC，由 PA⊥平面 ABCD得出 AB⊥ PA，故 AB⊥平面 PAC，于是AB⊥PC；（ 2）假设存在点M，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M 到平面ABCD 的距离从而确定M 的位置，利用棱锥的体积求出 B 到平面MAC 的距离h，根据勾股定理计算BM，则即为所求角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=2，BC=4，∴ AC=4， AB===4，∴△ ABC是等腰直角三角形，即AB⊥ AC，∵PA⊥平面ABCD，AB? 平面ABCD，∴ PA⊥AB，∴ AB⊥平面 PAC，又 PC? 平面 PAC，∴ AB⊥PC．（ 2）假设存在符合条件的点 M ，过点 M 作 MN⊥ AD 于 N，则 MN∥PA，∴ MN⊥平面 ABCD，∴ MN⊥ AC．过点 M 作 MG⊥ AC于 G，连接 NG，则 AC⊥平面 MNG，∴ AC⊥NG，即∠ MGN 是二面角 M﹣AC﹣D 的平面角．若∠ MGN=45°，则 NG=MN，又 AN= NG= MN，∴ MN=1，即 M 是线段 PD的中点．∴存在点 M 使得二面角 M﹣ AC﹣D 的大小为 45°．在三棱锥 M ﹣ABC中， V ﹣ABC△ ABC=，M =S?MN=设点 B 到平面 MAC 的距离是 h，则 V B﹣MAC，=∵ MG= MN=，∴ S△MAC===2，∴= ，解得 h=2．在△ ABN 中，AB=4，AN=，∠ BAN=135°，∴ BN==，∴ BM==3 ，∴ BM 与平面 MAC 所成角的正弦值为=．【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质，空间角与空间距离的计算，属于中档题．8．如图，在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，侧面 A1ACC1⊥底面 ABC，∠A1AC=60°．（ 1）求侧棱 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小；（ 2）已知点 D 满足= +，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出 A ⊥平面，⊥，以O 为坐标原点，建立如图所1O ABC BO AC示的空间直角坐标系 O﹣ xyz，利用向量法能求出侧棱AA1与平面 AB1所成角的C正弦值．（ 2 ）假设存在点P 符合题意，则点P 的坐标可设为P（ 0， y ， z），则．利用向量法能求出存在点 P，使 DP∥平面 AB1，其坐标为（，C0 0，），即恰好为A1点．【解答】解：（1）∵侧面 A1ACC1⊥底面 ABC，作 A1O⊥ AC于点 O，∴A1O⊥平面 ABC．又∠ ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等，∴AO=1，OA1=OB= ， BO⊥ AC．⋯（ 2 分）故以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则 A（0，﹣1，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，1，0），∴=（0，1，），=（），=（ 0， 2， 0）．⋯（4 分）设平面 AB1C 的法向量为，则，取 x=1，得=（1，0，1）．设侧棱 AA1与平面 AB1C 所成角的为θ，则 sin θ=|cos＜，＞| =|| =，∴侧棱 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为．⋯（6分）（2）∵=，而，，∴=（﹣ 2，0，0），又∵ B（），∴点D（﹣，0，0）．假设存在点 P 符合题意，则点 P 的坐标可设为 P（ 0，y，z），∴．∵ DP∥平面 AB ，（﹣，，）为平面AB1C 的法向量，1C=10 1∴由 =λ，得，∴ y=0．⋯（10 分）又 DP?平面 AB ，故存在点，使∥平面，其坐标为（，，），1C P DP AB1C0 0即恰好为 A1点．⋯（12 分）【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．9．在三棱柱 ABC﹣A1B1 C1中，侧面 ABB1A1为矩形， AB=2，AA1=2，D 是 AA1的中点， BD与 AB1交于点 O，且 CO⊥平面 ABB1 1．A（Ⅰ）证明：平面 AB1⊥平面BCD；C（Ⅱ）若 OC=OA，△AB1C 的重心为 G，求直线 GD 与平面 ABC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）通过证明AB1⊥ BD，AB1⊥ CO，推出 AB1⊥平面 BCD，然后证明平面AB1C⊥平面 BCD．（Ⅱ）以 O 为坐标原点，分别以 OD，OB1， OC 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面ABC 的法向量，设直线GD 与平面ABC 所成角α，利用空间向量的数量积求解直线 GD 与平面 ABC所成角的正弦值即可．【解答】（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）∵ ABB1A1为矩形， AB=2，，D是AA1的中点，∴∠ BAD=90°，，，从而，，∵，∴∠ ABD=∠AB1B，⋯（2 分）∴，∴，从而 AB1⊥BD⋯（4 分）∵CO⊥平面 ABB1A1， AB1? 平面 ABB1A1，∴ AB1⊥CO，∵ BD∩CO=O，∴ AB1⊥平面BCD，∵AB1? 平面 AB1 C，∴平面 AB1C⊥平面 BCD⋯（6 分）（Ⅱ）如图，以O 为坐标原点，分别以 OD， OB1，OC所在直线为 x， y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz．在矩形 ABB11中，由于 AD∥BB1，所以△ AOD 和△ B1OB 相似，A从而又，∴，，，，∴，，∵G 为△ AB1的重心，∴C，⋯（8 分）设平面ABC的法向量为，，由可得，令 y=1，则z=﹣1，，所以．⋯（10 分）设直线GD与平面ABC所成角α，则=，所以直线 GD 与平面 ABC所成角的正弦值为⋯（ 12 分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．10．在矩形 ABCD中， AB=4，AD=2，将△ ABD沿BD折起，使得点A折起至A′，设二面角 A′﹣BD﹣C 的大小为θ．（ 1）当θ=90时°，求 A′C的长；（ 2）当 cosθ=时，求 BC与平面 A′BD所成角的正弦值．【分析】（1）过 A 作 BD 的垂线交 BD 于 E，交 DC于 F，连接 CE，利用勾股定理及余弦定理计算 AE，CE，由 A′E⊥ CE得出 A′C；（ 2）利用余弦定理可得A′F= ，从而得出 A′F⊥平面 ABCD，以 F 为原点建立坐标系，求出和平面 A′BD的法向量，则 BC 与平面 A′BD所成角的正弦值为| cos＜＞| ．【解答】解：（ 1）在图 1 中，过 A 作 BD 的垂线交 BD于 E，交 DC于 F，连接 CE．∵ AB=4 ，AD=2 ，∴ BD==10．∴，BE==8， cos∠ CBE= =．在△ BCE中，由余弦定理得 CE==2．∵θ=90，°∴ A′E⊥平面 ABCD，∴ A′E⊥CE．∴| A′C|==2．（ 2） DE==2．∵ tan∠ FDE=，∴ EF=1，DF== ．当即 cos∠A′EF=时，．222，∴∠ A'FE=90°∴ A′E′F+EF=A又BD⊥ AE，BD⊥EF，∴ BD⊥平面 A'EF，∴ BD⊥ A'F∴A'F⊥平面 ABCD．以F 为原点，以 FC为 x 轴，以过 F 的 AD 的平行线为 y 轴，以 FA′为 z 轴建立空间直角坐标系如图所示：∴A′（0，0，），D（﹣，0，0），B（3， 2，0），C（3，0，0）．∴ =（0，2，0）， =（4 ，2 ，0），=（，0，）．设平面 A′BD的法向量为 =（ x， y， z），则，∴，令 z=1 得 =（﹣，2，1）．∴ cos＜＞===．∴ BC与平面 A'BD 所成角的正弦值为．【点评】本题考查了空间角与空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题．11．如图，由直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1和四棱锥 D﹣ BB1C1C 构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD= ，平面 CC1D⊥平面 ACC1A1．（Ⅰ）求证： AC⊥DC1；（Ⅱ）若 M 为 DC1的中点，求证： AM∥平面 DBB1；（Ⅲ）在线段 BC上是否存在点 P，使直线 DP 与平面BB1D所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）证明 AC⊥ CC1，得到 AC⊥平面 CC1，即可证明⊥1．D AC DC（Ⅱ）易得∠ BAC=90°，建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得 A（0，0，0），，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，利用向量求得AM与平面DBB 所成角为10，即AM∥平面DBB ．1（Ⅲ）利用向量求解ABC，故AC 【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A B C 中， CC⊥平面1111⊥CC，1由平面 CC1D⊥平面 ACC1A1，且平面 CC1D∩平面 ACC1A1=CC1，所以 AC⊥平面 CC D，1又C1D? 平面 CC1D，所以 AC⊥ DC1．（Ⅱ）证明：在直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中， AA1⊥平面 ABC，所以 AA1⊥ AB，AA1⊥ AC，又∠ BAC=90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣ xyz，依据已知条件可得 A（0，0，0），，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，所以，，设平面DBB1的法向量为，由即令 y=1，则， x=0，于是，因为M为 DC1中点，所以，所以，由，可得，所以 AM 与平面 DBB1所成角为0，即AM∥平面 DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB1D 的法向量为．设，λ∈[ 0， 1] ，则，．若直线DP与平面DBB1成角为，则，解得，故不存在这样的点．【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角．属于中档题12．如图，在多面体ABCDEF中，底面 ABCD为正方形，平面 AED⊥平面 ABCD，AB= EA=ED， EF∥BD（I）证明： AE⊥ CD（II）在棱 ED 上是否存在点 M，使得直线 AM 与平面 EFBD所成角的正弦值为？若存在，确定点 M 的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（I）利用面面垂直的性质得出CD⊥平面 AED，故而 AE⊥ CD；（ II）取AD 的中点O，连接EO，以O 为原点建立坐标系，设，求出平面BDEF的法向量，令| cos＜＞| =，根据方程的解得出结论．【解答】（I）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴ CD⊥AD，又平面 AED⊥平面 ABCD，平面 AED∩平面 ABCD=AD，CD? 平面 ABCD，∴CD⊥平面 AED，∵ AE? 平面 AED，∴AE⊥CD．（ II）解：取 AD 的中点 O，过 O 作 ON∥ AB交 BC于 N，连接 EO，∵EA=ED，∴ OE⊥ AD，又平面 AED⊥平面 ABCD，平面 AED∩平面 ABCD=AD，OE? 平面AED，∴ OE⊥平面 ABCD，以 O 为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：设正方形 ACD的边长为 2，，则 A（1，0，0）， B（ 1，2，0），D（﹣ 1，0，0），E（0，0，1），M （﹣λ，0，1﹣λ）∴=（﹣λ﹣1，0，1﹣λ），=（1，0，1），=（2，2，0），设平面 BDEF的法向量为 =（x，y， z），则，即，令x=1得=（1，﹣1，﹣1），∴ cos＜＞==，令 || =，解得λ=0，∴当 M 与点 E 重合时，直线 AM 与平面 EFBD所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．13．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，∠ ABC=∠ ACD=90°，∠ BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面 ABCD， PA=2， AB=1．（1）设点 E 为 PD 的中点，求证： CE∥平面 PAB；（2）线段 PD 上是否存在一点 N，使得直线 CN与平面 PAC所成的角θ的正弦值为？若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由．【分析】（1）取 AD 中点 M，利用三角形的中位线证明 EM∥平面 PAB，利用同位角相等证明 MC∥ AB，得到平面 EMC∥平面 PAB，证得 EC∥平面 PAB；（2）建立坐标系，求出平面 PAC的法向量，利用直线 CN 与平面 PAC所成的角θ的正弦值为，可得结论．【解答】（1）证明：取 AD 中点 M，连 EM， CM，则 EM∥PA．∵EM?平面 PAB，PA? 平面 PAB，∴ EM∥平面 PAB．在 Rt△ACD中，∠ CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．而∠ BAC=60°，∴ MC∥AB．∵MC?平面 PAB，AB? 平面 PAB，∴ MC∥平面 PAB．∵EM∩ MC=M，∴平面 EMC∥平面 PAB．∵EC? 平面 EMC，∴ EC∥平面 PAB．（ 2）解：过 A 作 AF⊥AD，交 BC于 F，建立如图所示的坐标系，则 A（0，0，0），B（，﹣，0），C（，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2），设平面 PAC的法向量为=（x，y，z），则，取=（，﹣3，0），设=λ（0≤λ≤1），则=（0，4λ，﹣ 2λ），=（﹣λ﹣1，2﹣2λ），∴ | cos＜，＞| ==，∴，∴ N 为 PD 的中点，使得直线CN与平面 PAC所成的角θ的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．如图，四棱锥 P﹣ABCD的底面 ABCD为平行四边形，平面 PAB⊥平面 ABCD，PB=PC，∠ ABC=45°，点 E 是线段 PA上靠近点 A 的三等分点．（Ⅰ）求证： AB⊥PC；（Ⅱ）若△ PAB是边长为 2 的等边三角形，求直线 DE与平面 PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）作 PO⊥AB 于 O，连接 OC，可得 PO⊥面 ABCD．由△ POB≌△ POC，∠ABC=45°，得 OC⊥AB，即得 AB⊥面 POC，可证得 AB⊥ PC．（Ⅱ）以O为原点建立空间坐标系，，利用向量求解．【解答】解：（Ⅰ）作 PO⊥AB 于 O⋯①，连接 OC，∵平面 PAB⊥平面 ABCD，且面 PAB∩面 ABCD=AB，∴ PO⊥面 ABCD．⋯（2 分）∵PB=PC，∴△ POB≌△ POC，∴ OB=OC，又∵∠ ABC=45°，∴ OC⊥AB⋯②又 PO∩ CO=O，由①②，得 AB⊥面 POC，又 PC? 面 POC，∴ AB⊥ PC．⋯（6 分）（Ⅱ）∵△ PAB是边长为 2 的等边三角形，∴如图建立空间坐标系，设面 PBC的法向量为，，由；，，．，令，得．设 DE 与面 PBC所成角为θ，∴直线 DE与平面 PBC所成角的正弦值．⋯（12 分）【点评】本题考查了空间线线垂直的判定，向量法求线面角，属于中档题．15．在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形，点 E，F 分别在线段 AA l，A1B1上，且 AE= ，A1F= ，CE⊥EF，M 为 AB 中点（ I）证明： EF⊥平面 CME；（Ⅱ）若 CA⊥ CB，求直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）推导出 Rt△EAM∽Rt△ FA1E，从而 EF⊥ ME，又 EF⊥CE，由此能证明EF⊥平面 CEM．（Ⅱ）设线段 A1B1中点为 N，连结 MN，推导出 MC，MA，MN 两两垂直，建空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形 ABB1A1中， A1E= ，AM=1，在 Rt△EAM 和 Rt△FA1E 中，，又∠ EAM=∠FA1E=，∴ Rt△EAM∽Rt△FA1E，∴∠ AEM=∠A1FE，∴ EF⊥EM，又EF⊥CE，ME∩CE=E，∴ EF⊥平面 CEM．解：（Ⅱ）在等腰三角形△ CAB中，∵CA⊥CB，AB=2，∴ CA=CB= ，且 CM=1，设线段 A1 B1中点为 N，连结 MN，由（Ⅰ）可证CM⊥平面 ABB1A1，∴MC， MA，MN 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C（1，0，0），E（0，1，），F（0，，2），A（0，1，0），C1（1，0，2），=（﹣ 1，1，），=（0，﹣，），=（ 1，﹣ 1， 2），设平面 CEF的法向量为=（x，y，z），则，取 z=2，得=（5，4，2），设直线 AC1与平面 CEF所成角为θ，则 sin θ==，∴直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。