y y1 y2
3
2
BD AB
③内角平分线定理：
CD AC
④定比分点公式： AM MB
⑤韦达定理 .
，则 xM xA
xB ， yM yA
yB
1
1
6
x2 y2 Dx Ey F 0 D 2 E 2 4F 0
1. Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0表示圆方程则
AB 0
C0
2
D A
2
E
F
4
0
A
A
AB0 C0 D 2 E 2 4 AF 0
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：
3. D 2 E 2 4F 0 常可用来求有关参数的范围
三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系
x2 y2 D2x E2 y F2 0 （
1）
说明： 1）上述圆系不包括 C2 ； 2）当
1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（ 2 ） 过 直 线 A x B y C 0 与 圆 x2 y2 Dx Ey F 0 交 点 的 圆 系 方 程 为
x2 y2 Dx Ey F
Ax By C 0
（3）有关圆系的简单应用 （4）两圆公切线的条数问题 ①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相 离时，有四条公切线 十、轨迹方程 （1）定义法（圆的定义） ：略 （2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标 的关系式——轨迹方程 .
2
2
d PA PB ，求 d 的最值及对应的 P 点坐标 .
2
2
4.已知圆 C ： x 1 y 2 25 ，直线 l ： 2m 1 x m 1 y 7m 4 0（ m R ）
（1）证明：不论 m 取什么值，直线 l 与圆 C 均有两个交点；
（2）求其中弦长最短的直线方程 .
5.若直线 y x k 与曲线 x
碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果
.
由上述分析， 我们知道： 过一定点求某圆的切线方程， 非常重要的第一步就是——判断 点与圆的位置关系，得出切线的条数 .
③求切线长：利用基本图形，
2
AP
2
CP
r2
AP
2
CP
r2
3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂．径．定．理． 及勾股定理——常用
1 y2 恰有一个公共点，则 k 的取值范围 .
2
6.已知圆 x
2
y
x 6y
m
0 与直线 x
2y 3
0 交于 P ， Q 两点， O 为坐标原点，
问：是否存在实数 m ，使 OP OQ ，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由 .
九、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（ d 为圆心距）
（1） d r1 r2 外离
答案： 3x 4 y 1 0和 x 1
ii ）点在圆上
1） 若点 x0，y0 在圆 x2 y 2 r 2上，则切线方程为 x0x y0 y r 2
会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目
.
2
2） 若点 x0，y0 在圆 x a
2
yb
r 2 上，则切线方程为
x0 a x a y0 b y b r 2
2.直线与圆相切 （1）知识要点
①基本图形
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
问题：直线 l 与圆 C 相切意味着什么？ 圆心 C 到直线 l 的距离 恰好等于半径 r
（2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意．点．．
2
2
3.圆 x 3
y 1 1关于点 2, 3 对称的曲线方程是 __________________.
八、最值问题 方法主要有三种： （ 1）数形结合； （ 2）代换；（ 3）参数方程
1.已知实数 x ， y 满足方程 x2 y2 4 x 1 0 ，求：
（1） y 的最大值和最小值； ——看作斜率 x5
例：过圆 x2 y2 1外一点 A 2, 0 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程
.
2
2
2
分析： OP AP OA
（3）相关点法（平移转换法） ：一点随另一点的变动而变动
动点 主动点
特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动
.
5
法 2：（参数法）
设 B 3cos , 3sin
0
x a r cos
， 为参数
y b r sin
八、相关应用
1.若直线 mx 2ny 4 0 （ m ， n R），始终平分圆 x2 y2 4x 2y 4 0 的周长，
则 m n 的取值范围是 ______________. 2.已知圆 C ： x2 y2 2 x 4 y 4 0 ，问：是否存在斜率为 1 的直线 l ，使 l 被圆 C 截得
1.判断方法：点到圆心的距离
d r 点在圆内； d r
2.涉及最值：
d 与半径 r 的大小关系 点在圆上； d r 点在圆外
（1）圆外一点 B ，圆上一动点 P ，讨论 PB 的最值
PB
BN BC r PB
BM BC r
min
max
（2）圆内一点 A ，圆上一动点 P ，讨论 PA 的最值
PA
AN r AC
《圆与方程》知识点整理
一、标准方程
2
xa
2
yb
r2
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心
a, b 和半径 r
①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材
P119 例 2
பைடு நூலகம்
②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程
答案： 4, 6
4.直线与圆相离 会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 七、对称问题
1.若圆 x2 y2 m2 1 x 2my m 0 ，关于直线 x y 1 0 ，则实数 m 的值为 ____.
答案： 3（注意： m 1时， D 2 E 2 4F 0 ，故舍去）
变式：已知点 A 是圆 C : x2 y2 ax 4y 5 0 上任意一点， A 点关于直线 x 2 y 1 0
（ 2） d r1 r2
外切
（3） r1 r2 d r1 r2 相交
（ 4） d r1 r2 内切
（5） d r1 r2 内含
2.两圆公共弦所在直线方程
圆 C1 ： x 2 y2 D1 x E1 y F1 0 ，圆 C2 ： x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0 ，
则 D1 D2 x
补充说明：
2
3 ,1
2
参数法的本质是将动点坐标 x, y 中的 x 和 y 都用第三个变量 （即参数） 表示， 通过消．
参．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出 （4）求轨迹方程常用到得知识
x ， y 的范围 .
x xA xB xC
x x1 x2
①重心 G x, y ，
3
②中点 P x, y ，
2
y yA yB yC
min
PA
AM r AC
max
思考：过此 A 点作最短的弦？（此弦垂直 AC ）
1
六、直线与圆的位置关系
1.判断方法（ d 为圆心到直线的距离）
（1）相离 没有公共点
0 dr
（2）相切 只有一个公共点
0 dr
（3）相交 有两个公共点
0 dr
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围
的弦为 AB ，以 AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线
由.
l 的方程，若不存在，说明理
提示： x1x2 y1 y2 0 或弦长公式 d 1 k2 x1 x2 . 答案： x y 1 0 或 x y 4 0
2
2
3.已知圆 C ： x 3 y 4 1 ，点 A 0,1 ， B 0, 1 ，设 P 点是圆 C 上的动点，
i ）点在圆外
2
如定点 P x0 , y0 ，圆： x a
2
yb
r 2 ， [ x0
2
a
y0
.
2
b
r2]
第一步：设切线 l 方程 y y0 k x x0
第二步：通过 d r k ，从而得到切线方程 特别注意： 以上解题步骤仅对 k 存在有效，当 k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点 P 1, 1 作圆 x2 y2 4x 6 y 12 0 的切线，求切线方程 .
（2） y x 的最小值； ——参数法； 截距（线性规划）
（3） x2 y 2 的最大值和最小值 .——两点间的距离的平方
2.已知 AOB 中， OB 3 ， OA 4 ， AB 5 ，点 P 是 AOB 内切圆上一点， 求以 PA ，
PB ， PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值 .
数形结合和参数方程两种方法均可！
2
弦长公式： l
1
k 2 x1
x2
1 k2
2
（暂作了解，无需掌握）
x1
x2
4 x1x 2
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合） （3）关于点的个数问题
： 直线过定点，而定点恰好在圆内 .
2
例：若圆 x 3
2
y5
r 2 上有且仅有两个点到直线
4 x 3y 2 0 的距离为 1，则
半径 r 的取值范围是 _________________.