各部分设计意图说明一、入门：力求整合相关知识，减少学生记忆，增强认知，选用基本问题作为习题，提升学生基础知识应用能力。

二、提高：总结相关知识推衍出的常用结论，学生可以通过这些结论的证明实际演练基础知识的应用，选择教学进度内、提升难度后的例题和练习再次强化学生分析问题、解决问题能力。

三、中考视角：选题以中考考查范围为视角，提高学生各部分知识的综合应用能力。

题目中将加入部分原创试题，目的是让学生开拓视野，给老师中考复习增加素材。

简单数学之与圆有关的角复习一、入门（一）、定义：圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角。

如图1，∠AOB是圆心角，它所对的弧是劣弧⌒AB，其实，这个图里还有一个圆心角，就是∠AOB优弧⌒AB所对的圆心角，很多时候我们都忽略它的存在，有时候它也很有用，比如，证明圆内接四边形性质时。

圆周角：顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。

换个角度看，圆周角就是两条有公共端点的弦所夹成的角。

如图1，∠AOB是圆周角，它是由弦AC、弦BC所夹成的，点C是它的顶点，而剩余的两个弦的端点，恰好构成了圆周角作对弧⌒AB。

由此，可知，圆周角和圆心角同根同源，圆心角、圆周角的转化都以它们所对的弧为基础（二）、定理与性质：1、课本上，我们有弧、弦、圆心角的关系定理，还有圆周角定理及其推论，如果我们将它们整合一下可以得到五量关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角，两条弦，两条弦的弦心距、两条弧中，有一组量相等，其余各组量分别对应相等。

应用五量关系，证明圆中相关要素的相等关系是比较好的选择。

例题1：如图2，⊙O中，弦AB、CD交于点E，且AB=CD，求证：AC=BD解析：因为是在同圆中，已知弦相等，我们可以推出弦所对的弧相等，也可以推出弦所对的圆周角相等.方法一：证明：如图2，∵AB=CD∴⌒AB =⌒CD∴⌒AC =⌒BD∴AC=BD方法二：证明：如图3，连OA，OB，OC，OD∵AB=CD∴∠AOB=∠COD∴∠AOC=∠BOD图1B 图2B∴AC =BD 2、由圆周角定理还可以得到半圆或（直径）所对的圆周角是90º；90º的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形对角互补。

这是圆中经常用到的推论，除了用于证明，遇直径经常连接直径所对的圆周角。

例2：如图4，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC =AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？解析：AB 是⊙O 的直径，则连AD 后，∠BDA =90°，即AD ⊥BC ，因AC =AB ，由等腰三角形三线合一，BD =DC （证略） 3、练习1.如图5，已知点E 是⊙O 上的点， B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点, 46BOC ∠=，则AED ∠的度数为 ．2.如图6，⊙O 中OA BC ⊥，25CDA ∠=，则AOB ∠的度数为 ．3.如图7，点C D 、在以AB 为直径的⊙O 上，若28BDC ∠=，则ABC ∠= 度．4.如图8，⊙O 中，弦AB DC ，的延长线相交于点P ，如果120AOD ∠=，25BDC ∠=，那么A ．40°B ．30°C ．20°D ．35°二、提高（一）、典型结论：1、将圆周角、圆心角与圆内其它知识整合在一起，可以得到许多结论：如图10，⊙O 内切于△ABC ，D 、E 、F 分别为切点，为⌒DF上任意一点。

将相应各点连接在一起可以得到如下结论： （1）∠BOC =（2）∠DEF =事实上，当点E 在优弧⌒DF上（与D 、F 不重合）运动时，总有该结论成立（3）∠D F =2、实际计算中，我们还可以发现弦长、半径与弦所对圆心角之间的关系： 已知，⊙O 半径为R ，当弦AB =R时，圆心角∠AOB =60；当弦AB =R 时，圆心角∠AOB =90；图5 图6 图7 图8 图9图4BC图10ABE当弦AB =R时，圆心角∠AOB =120（本条结论应用程度相当高一定要熟记）；3、圆内接四边形外角等于内对角（二）、例题例3：如图11，A、B、C、D四点均在一圆弧上，弦BC // AD，且直线AB与直线CD相交于E点。

若∠BCA=10︒，∠BAC=60︒，则∠BEC=（）A、35︒B、40︒C、60︒D、70︒。

分析：由三角形外角知识可知∠EBC=∠BCA+∠BAC=70︒，由BC// AD，可得∠EAD= ∠EBC=70︒，由A、B、C、D四点共圆，∠EAD+∠BCD=180︒，又因∠BCE+∠BCD=180︒可得∠BCE=70︒，则∠BEC=40︒例4：如图12，⊙O为△ABC的外接圆，其中D点在⌒AC上，且OD⊥AC．已知∠A=36°，∠C=60°，则∠BOD的度数为何？（）A、132︒B、144︒C、156︒D、168︒分析：本题一种解法是连接CO，由圆周角定理可得∠BOC=72︒，由等腰三角形内角和求∠BCO=54︒，则∠OCA=6︒，由OD⊥AC 可得∠COD=84︒，则∠BOD=∠BOC+∠COD=156︒本题另一种解法，连接CO，由圆周角定理可得∠BOC=72︒，因为OD⊥AC，由垂径定理，⌒DC=⌒AC,则有∠COD=∠AOC=∠ABC=180︒-36°-60°=84°，∠BOD=∠BOC+∠COD=156︒例5：如图13，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P 是⌒AC上一动点，连接PB分别交AD、AC于点E，F．（1）当⌒PA=⌒AB时，求证：AE=BE；（2）当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论．分析：(1) 可连AB，由BC是直径，AD⊥BC，由同角的余角相等可知∠BAD=∠C，由⌒PA=⌒AB可得∠ABE=∠BAD。

(2)我们可以通过倒推的方法解决这类问题。

当AE=BE时，可得∠AEF=∠AFE，由（1）可知，∠ABP+∠AFB=90°，∠PBD+∠BED=90°，由此可知，∠ABP=∠PBD，所以⌒PA=⌒PC。

按此思路，正推回去即可。

（1）证明：连接AB，∵BC为⊙O的直径，∴AB⊥AC．又∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠DAC=∠C+∠DAC=90°∴∠BAD=∠C．∵⌒PA=⌒AB∴∠ABE=∠C．∴∠ABE=∠BAD．∴AE=BE．（2）当⌒PA=⌒PC时，AF=EF．证明：∵⌒PA=⌒PC∴∠PBC=∠C．∴90°-∠PBC=90°-∠C．图12图13即∠BED =∠DAC ∵∠BED =∠AEF ∴∠DAC =∠AEF ∴AF =EF（三）、学段练习1.如图15，在⊙O 中，圆心角60BOC ∠=︒，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60︒ B ．50︒ C ．40︒ D ．30︒2.如图16，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为（ ）A ．10 B ．20 C ．30 D ．403.如图17，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在劣弧AD 上，则BEC ∠等于（ ）Ａ．45 Ｂ．60 Ｃ．30 Ｄ．554.如图18, 已知CD 为⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ,若∠D 的度数是50o ,则∠C 的度数是（ ）A .50oB . 40oC . 30oD .25o5． 如图19所示，小华从一个圆形场地A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走，按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时56AOE∠=，则α的度数是（ ） A ．52 B．60 C．72 D．766．如图20，已知在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，C 是OB 延长线上一点，AC 交⊙O 于D ，求证：弧AD 的度数是∠C 的2倍．三、中考视角1．如图21，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAB =130°，连接OC ，点P 是半径OC 上任意一点，连接DP ，BP ，则∠BPD 可能为 度（写出一个即可）． 2．如图22，MN 是⊙O 的直径，MN =4，∠AMN =40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则P A +PB 的最小值为 ．3．如图23，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是⌒AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连AP 、BP ，过点C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ．（1）填空：∠APC = ，∠BPC = ；O C BA 图15 E 图17 图18 图16图19图20图21图22（2）求证：△ACM ≌△BCP ；（3）若PA =1，PB =2，求梯形PBCM 的面积．4．如图，AD 是⊙O 的直径．(1)如图24-1，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是 ；(2)如图24-2，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，分别求∠B 1，∠B 2， ∠B 3的度数；(3)如图24-3，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示∠B n 的度数(只需直接写出答案)．5．如图25，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA ∥PE . （1）求证：AP ＝AO ；（2）若弦AB ＝12，求tan ∠OPB 的值； （3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 .6．（原创）已知，⊙O 的半径为1cm ，弦AB 、CD,1cm ，则直线AC 、BD 所夹的锐角 ＝ ．（本题如果仔细分析情况较多需要仔细思考具体分析请看答案）图24-1B C 2图24-2n B 3 -2 n图24-3答案与解析一、入门3、练习1.69°2.50°3.55度．4.35°．5.B二、提高（三）、学段练习1.D2.B3.A4.D5.A6．连接OD，在直角△AOC中，∠C=90°-∠A在△OAD中，∵OA=OD∴∠A=∠ADO∴∠AOD=180-2∠A∴∠AOD=2∠C∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数∴弧AD的度数是∠C的2倍三、中考视角1． 802．2．解析：解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为P A+PB 的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴=，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2，即P A+PB的最小值2．故答案为：2．3．（1）解：∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）证明：∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，∵∠BPC =∠BAC =60°， ∴∠PCM =∠BPC =60°，∴∠M =180°-∠BPM =180°-（∠APC +∠BPC ）=180°-120°=60°， ∴∠M =∠BPC =60°，又∵A 、P 、B 、C 四点共圆， ∴∠PAC +∠PBC =180°， ∵∠MAC +∠PAC =180° ∴∠MAC =∠PBC ∵AC =BC ，∴△ACM ≌△BCP ；（3）解：作PH ⊥CM 于H ，∵△ACM ≌△BCP ，∴CM =CP AM =BP ， 又∠M =60°，∴△PCM 为等边三角形，∴CM =CP =PM =PA +AM =PA +PB =1+2=3， 在Rt △PMH 中，∠MPH =30°， ∴PH =∴S 梯形PBCM =（PB +CM ）×PH =(2+3)×=4． 解：（1）垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则⌒AC 1是圆的，因而度数是45°，因而∠B 1的度数是22.5°，同理⌒AC 2的度数是135度，因而，∠B 2的度数是67.5°； （2）∵圆周被6等分∴⌒B 1C 1=⌒C 1C 2=⌒C 2C 3=360°÷6=60°∵直径AD ⊥B 1C 1 ∴⌒AC 1=⌒B 1C 1==30°，∴∠=⌒AC 1=15°，∠B 2=⌒AC 2=(30°+60°)=45°，同理∠B 3=75° （3）B n C n 把圆周2n 等分，则⌒B n D 的度数是：，则∠B n AD =，在直角△AB n D 中，∠B n ＝90°−=90°−．5．证明：（1）∵PG 平分∠EPF ， ∴∠DPO =∠BPO ， ∵OA //PE ，∴∠DPO =∠POA ， ∴∠BPO =∠POA ， ∴PA =OA ；解：（2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH =HB =12AB ∵ tan ∠OPB =12OH PH ，∴PH =2OH设OH =x ，则PH =2xP由（1）可知PA =OA = 10 ，∴AH =PH －PA =2x －10 ∵222AH OH OA +=， ∴222(210)10x x -+= 解得10x =（不合题意，舍去），28x =∴AH =6， ∴AB =2AH =12 （3）P 、A 、O 、C ； 6．本题答案为15°或75°。