含参数不等式问题
在一定条件下，给出的一个带参数的不等式，对使不等式恒成立的参数进行讨论，或求其最 值，在数学竞赛中比较活跃的题型之一。

步骤：(1)估计参数上、下界
(2) 求出参数上、下界
(3) 证明不等式对上、下界恒成立
例1、求a 的范围，使得对任意
x 和€ [0 ,-]恒有
2
2 、2
(x 3 2sin • cos ) (x asin
a 丿 cos
111 M
M ，使一一 —>
a b c a b c
例3、求最大的常数c ，使得对满足x >o, y >0, x 2 y 2
cxy
例2 ♦设awbvc 是Rt △二边长‘求最大常数 6
1
的实数X, y 恒有X
方法：比较法、放编法、反射法、归纲法、算术、几何平均值不等式、柯西不等式、排序不等式例4、设a、b、c是Rt△三边长，且a w bv c,
求：最大常数k，使a2(b c) b2(c a) c2(a b) > kabc对任何Rt△恒成立.
例5、求最小的实数a，使得对任意非负x、y、z，且x + y+z=i,有a(x2
y2 z2) xyz> —.
3 27
多元函数的条件最（极）值求解
求函数最值问题是数学中一类重要问题，其中又以求多元函数的条件最（极）值为各竞赛的热点，解答此类问题，常常要应用到二次函数、三次函数的性质以及一般函数的各种基本性质，特别是凹凸性，以及几个重要不等式，如平均值不等式、柯西不等式等，除此之外，还要具有灵活变更问题的能力和较强的解题技巧•例如，对于某些多元函数的极值，常常要将某些变量固定而考虑少数几个变量的变化规律・因此，求解多元函数的条件最（极）值问题常采用函数法、不等式法、不变量法、冻结变量（先固定某些变量）法等.
1、函数法
例1、设X、y€ R，求函数f（x,y） x2 6y2 2xy 14x 6y 72的最小值，并求出取
得最小值时的x、y的值.
例2、设x€ R,试求函数f(x) (x2 4x 5)(x2 4x 2) 2x2 8x 1 的最小值.
例3、求三位数（十进制表示）与其各位数字之和的比的最小值.
例4、已知若干个正整数之和为 1976,求其积的最大值.
2
例5、求二元函数f (x, y) (x y) (x
例 6、已知 a,b,c,d R 試求 f (a,b,c,d) 的最小值.
例7、m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的总和为
3nw4n 的最大值是多少?请证明你的结论.
1 2
1)的最小 y 值.
xx •对于所有这样的m 和n,。