2020年海南省新高考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|13}A x x =，{|24}B x x =<<，则(A B = )A ．{|23}x x <B ．{|23}x xC ．{|14}x x <D ．{|14}x x <<2．2(12i i -=+ )A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为)O ，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为()A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%6．基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )(20.69)ln ≈ A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天 7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值范围是( ) A ．(2,6)- B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-8．若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，则满足(1)0xf x -的x 的取值范围是( ) A ．[1-，1][3，)+∞B ．[3-，1][0-，1]C ．[1-，0][1，)+∞ D ．[1-，0][1，3]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知曲线22:1C mx ny +=．( )A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n =>，则C 是圆，其半径为nC ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为m y x n=±- D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线10．如图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()(x ωϕ+= )A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π- C ．cos(2)6x π+D ．5cos(2)6x π- 11．已知0a >，0b >，且1a b +=，则( )A ．2212a b + B ．122a b ->C ．22log log 2a b +-D 2a b12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1，2，⋯，n ，且()0(1i P X i p i ==>=，2，⋯，)n ，11ni i p ==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑．()A ．若1n =，则()0H X =B ．若2n =，则()H X 随着1p 的增大而增大C ．若1(1i p i n==，2，⋯，)n ，则()H X 随着n 的增大而增大D ．若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，且21()(1j m j P Y j p p j +-==+=，2，⋯，)m ，则()()H X H Y三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。
1332:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则||AB = ． 14．将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为 ．15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为 2cm ．16．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒．以1D 5为半径的球面与侧面11BCC B 的交线长为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在①3ac =sin 3c A =，③3c b =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ∆，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 3sin A B =，6C π=，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-．19．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，3/)g m 2SO2.5PM[0，50] (50，150] (150，475][0，35] 32 18 4 (35，75] 6 8 12 (75，115]37102SO 浓度不超过150”的概率； 2SO2.5PM[0，150] (150，475][0，75] (75，115]2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828分）如图，四棱锥与平面PBC 的交线为l ． （1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,3)M ，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12．（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求AMN ∆的面积的最大值． 22．（12分）已知函数1()x f x ae lnx lna -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若()1f x ，求a 的取值范围．2020年海南省新高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|13}A x x =，{|24}B x x =<<，则(A B = )A ．{|23}x x <B ．{|23}x xC ．{|14}x x <D ．{|14}x x <<【思路分析】利用并集定义和不等式的性质直接求解． 【解析】：集合{|13}A x x =，{|24}B x x =<<，{|14}A B x x ∴=<．故选：C ．【总结与归纳】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．2(12i i -=+ )A ．1B ．1-C ．iD ．i -【思路分析】运用复数的除法运算法则，化简可得所求值．【解析】：2(2)(12)512(12)(12)14i i i ii i i i ----===-++-+，故选：D ．【总结与归纳】本题考查复数的乘除运算，考查化简运算能力，是一道基础题．3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A ．120种 B ．90种 C ．60种D ．30种【思路分析】让场馆去挑人，甲场馆从6人中挑一人有：166=种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：2510=种结果；余下的3人去丙场馆；相乘即可求解结论．【解析】：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，甲场馆从6人中挑一人有：166=种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：2510=种结果；余下的3人去丙场馆；故共有：61060⨯=种安排方法；故选：C ．【总结与归纳】本题考查排列组合知识的应用，考查运算求解能力，是基础题．4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为)O ，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为()A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒【思路分析】由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A 处的水平面所成角．【解析】：可设A 所在的纬线圈的圆心为O '，OO '垂直于纬线所在的圆面， 由图可得OHA ∠为晷针与点A 处的水平面所成角，又OAO '∠为40︒且OA AH ⊥， 在Rt OHA ∆中，O A OH '⊥，40OHA OAO '∴∠=∠=︒，故选：B ．【总结与归纳】本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础题．5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【思路分析】设只喜欢足球的百分比为x ，只喜欢游泳的百分比为y ，两个项目都喜欢的百分比为z ，画出图形，列出方程求解即可．【解析】：设只喜欢足球的百分比为x ，只喜欢游泳的百分比为y ，两个项目都喜欢的百分比为z ，由题意，可得60x z +=，96x y z ++=，82y z +=，解得46z =．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C ．【总结与归纳】本题考查集合的应用，子集与交集、并集运算的转换，韦恩图的应用，是基本知识的考查．6．基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )(20.69)ln ≈ A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天【思路分析】根据所给模型求得0.38r =，令0t =，求得I ，根据条件可得方程0.382t e =，然后解出t 即可．【解析】：把0 3.28R =，6T =代入01R rT =+，可得0.38r =，0.38()t I t e ∴=，当0t =时，(0)1I =，则0.382t e =，两边取对数得0.382t ln =，解得21.80.38ln t =≈．故选：B ．【总结与归纳】本题考查函数模型的实际运用，考查学生阅读理解能力，计算能力，属于中档题．7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值范围是( ) A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【思路分析】画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可． 【解析】：画出图形如图，||||cos ,AP AB AP AB AP AB =<>，它的几何意义是AB 的长度与AP 在AB 向量的投影的乘积，显然，P 在C 处时，取得最大值，1||cos ||||32AC CAB AB AB ∠=+=，可得||||cos ,236AP AB AP AB AP AB =<>=⨯=，最大值为6，在F 处取得最小值，1||||cos ,2222AP AB AP AB AP AB =<>=-⨯⨯=-，最小值为2-，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，所以AP AB 的取值范围是(2,6)-．故选：A ．【总结与归纳】本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是中档题． 8．若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，则满足(1)0xf x -的x 的取值范围是( ) A ．[1-，1][3，)+∞ B ．[3-，1][0-，1]C ．[1-，0][1，)+∞D ．[1-，0][1，3]【思路分析】根据函数奇偶性的性质，作出函数()f x 的草图，利用分类讨论思想进行求解即可．【解析】：定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，()f x ∴的图象如图：当0x =时，不等式(1)0xf x -成立， 当1x =时，不等式(1)0xf x -成立，当12x -=或12x -=-时，即3x =或1x =-时，不等式(1)0xf x -成立， 当0x >时，不等式(1)0xf x -等价为(1)0f x -， 此时0012x x >⎧⎨<-⎩，此时13x <，当0x <时，不等式(1)0xf x -等价为(1)0f x -， 即0210x x <⎧⎨--<⎩，得10x -<，综上10x -或13x ，即实数x 的取值范围是[1-，0][1，3]， 故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查不等式的 求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数()f x 的草图，是解决本题的关键．难度中等．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。