1、从包汤圆（饺子）
今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若 分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S V s v s v
…
s v
( 共 n个 )
定性分析
解法二： 以时间t为横 坐标，以沿上山路线从山下旅 店到山顶的路程x为纵坐标， 从山下到山顶的总路程为d;
严格的数学论证： 令
思考题：有一边界形状任意的蛋糕，兄妹俩都想吃， 妹妹指着蛋糕上的一点P，让哥哥过点P切开一人一半，能 办到吗? 返回
5、测量电阻
在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶 楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因 此三根电线的长度均未知。现在工人师傅为了在顶 楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻。如 何测量出这三根电线的电阻?
V和 nv 哪个大?
V比 nv大多少?
定量分析
假设
1. 皮的厚度一样 2. 汤圆(饺子) 的形状 一样
模型
R ~大皮 的半径；r ~小皮的半
径
2 3
S ns
S k1 R , V k2 R s k1r , v k2 r
2 3
V kS
3/ 2
v ks
3/ 2
V n v
3/ 2
根据题意，A点的坐标为(-300，0)， 单位为km．台风中心的运动轨迹为直 线BC，这里的∠CBA＝450，当台风中 心在运动过程中处于以A为圆心、半径 为250 km的圆内(即MN上)时，气象台 A所在地区将遭受台风的影响。 因为圆的方程为： 直线BC的方程为： 当台风中心处于圆内时，有： 解得 其中参数t 为时间(单 位为h)。
所以，大约在2h以后气象台A所在地区将会 遭受台风的影响，持续时间大约为6．6h。
8、黄灯应当亮多久
交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态— —亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。
D L
设想一下黄灯的作用是什么，不难看 出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上 要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。 停车是需要时间的，在这段时间内，车辆 仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在 离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽 管它没被画在地上），见图。对于那些黄 灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。 为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2。 其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应 时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。 L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测 算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可 另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线拟 合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。 第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停 得住车。 第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 D 的车顺利穿过马路， L 即T 至少应当达到 （L+D）/v。
某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路 返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中 至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该 地。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一 人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两 人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了： 只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间， 两人必会在途中相遇。
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7、气象预报问题
在气象台A的正西方向300 km处有一台风中心，它以 40 km/h的速度向东北方向移动；根据台风的强度，在距 其中心250 km以内的地方将受到影响，问多长时间后气象 台所在地区将遭受台风的影响?持续时间多长? 此问题是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象 预报，现建立解析几何模型加以探讨。 以气象台A为坐标原点建立 平而直角坐标系，设台风中心为B， 如图
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5 时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的 同—地点，为什么? 解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两 人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为 两人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向 运动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人 在两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。
x y l y z m xz n
由三元一次线性方程组解出x,y,z即得三根 电线的电阻。
说明：此问题的难点也是可贵之处是用方程 “观点”、”立场”去分析，用活的数学思想使实 际问题转到新创设的情景中去。
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6、比赛场次
37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两
则所提问题变为在自然数集上求解方程
( 2k
i 1
7
i
1) 26
于是，我们有了该问题的数学语言表达——数学模型 求解： 用反证法容易证明本问题的解不存在。
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3、相遇问题
某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？
显然是由于节省了从 换一种想法，问题就迎 相遇点到会合点，又从会合 刃而解了。假如他的妻子遇 点返回相遇点这一段路的缘 到他后仍载着他开往会合地 似乎条件不够哦 。。 故，故由相遇点到会合点需 点，那么这一天他就不会提 开5分钟。而此人提前了三 前回家了。提前的十分钟时 十分钟到达会合点，故相遇 间从何而来？ 时他已步行了二十五分钟。应用来自V n (nv) nv
V是 nv是
n 倍
若100个汤圆（饺子）包1公斤馅, 1.4 则50个汤圆(饺子) 可以包 公斤馅
返
2、杀羊方案
问题杀羊方案 现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只， 问各天分别杀几只？ 1). 这是一个有限问题，解决此类问题的一 分析： 类方法是枚举，你可以试试。 2). 依题意，设第 i 天杀 2ki 1 (ki为自然数) 只， 建模：
支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结
束。问共需进行多少场比赛？
一般思维：
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 1 1 36 2 2 2 2 2
逆向思维：
每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。