函数与方程的思想方法函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想的精髓就是构造函数。

方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。

对于函数)(xfy=，当0=y时，就转化为方程0)(=xf，也可以把函数式)(xfy=看做二元方程0)(=-xfy，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。

函数与表达式也可以相互转化，对于函数)(xfy=，当0>y时，就转化为不等式)(>xf，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

数列的通项或前n项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。

函数)()()(*Nnbxaxf n∈+=与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。

解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。

立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。

高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。

第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等；第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题；第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等；第四层次：构造方程或不等式求解问题。

其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。

纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。

即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。

熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。

善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。

经典例题：一． 函数思想所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。

1. 构造函数，运用函数的性质例1.（1）已知关于x 的方程0cos 222=+-a x x 有唯一解，求a 的值；（2）解不等式0)2)1(1)(1()21(22>+++++++x x x x 。

分析：（1）构造函数22cos 2)(a x x x f +-=，则问题转化为求)(x f 的零点唯一时的a 。

（2）由观察可构造函数)21()(2++=x x x f 再利用函数的性质，解决问题。

解析：（1）令22cos 2)(a x x x f +-=，R x ∈是偶函数。

)(),()(x f x f x f ∴=-)(x f ∴的图像关于y 轴对称，而题设方程0)(=x f 由唯一解，从而此解必为0=x （否则必有另一解），2,020)0(2±==+-=∴a a f 解得。

（2）设R x x x x f ∈++=),21()(2，易证)(x f 在区间[)+∞,0内为增函数。

）上为增函数，，在区间（是奇函数，从而∞+∞-∴-=++-=-)()().()21()(2x f x f x f x x x f 21,1),()()1(,0)1()(f ->∴->+-=->+>++∴x x x x f x f x f x f x 即即原不等式可化为点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。

2.选定主元，揭示函数关系例2．对于]1,1[-∈a 的一切值，使不等式a x ax x +++<21)32()32(2恒成立的x 的取值范围是 分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。

解析; a x ax x +++<21)32()32(2且1320<<，a x ax x +>++∴212，即0)1()1(2>-+-x x a 。

①当1=x 时，不定式①不成立。

当1≠x 时，设=)(a f 2)1()1(-+-x x a 。

当0)1(0)(]1,1[)(1>->->f a f a f x 恒成立，则只需上的增函数，欲使时时，，即.2,01,0)1()1(2>∴>->-+-x x x x 又当， 0)1(0)(]1,1[)(1>>-<f a f a f x 恒成立，则只需上的减函数，欲使时时，即.0,1,0)1()1(2<∴<>-+-x x x x 故x 的取值范围时),2()0,(+∞⋃-∞。

点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x 反而以a 为主变元对x 进行讨论，这才是真正切中要害。

若以x 为主元对a 进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。

3．选取变元，确定函数关系例3．函数x x y -+=1的值域是 。

分析：一般思路是：平方，移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式。

面对这样一个低于四次的含双变量的方程，其难度真不敢想象。

然而，可考虑转换选取新变元。

解析：由10010≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≥x x x ，∴设θπθθ22cos 12,0,sin =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x ，则， 那么).4sin(2cos sin πθθθ+=+=y 4344,2,0ππθππθ≤+≤∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ ， 当[]2,1.24;1,20max min 于是函数的值域是时，当时或====y y πθπθ 点评：虽然经选取变元后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝，但须特别注意到：转化后的函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=20)4sin(ππ，在x y 上没有单调性，故最大值不能在其右端点取得。

4.利用二项式定理构造函数例4：求证：k n m n k m k n m k n m C C C C C C C +-=+++011 。

分析：构造函数n m n m x x x x f ++=++=)1()1()1()(，比较两个展开式中k x 的系数。

解析：令n m x x f ++=)1((，n m k n m x C +++）是（1展开式中k x 的系数，又 ),)(()1()1()(102210n n n n n m n m m m m n m x C x C C x C x C x C C x x x f +++++++=++= 其中kx 的系数为0110n k m k n m k n m C C C C C C +++- ，故0110n k m k n m k n m C C C C C C +++- =k n m C +。

点评：利用函数)()()(*N n b ax x f n ∈+=，用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。

5.用函数的思想方法解数列题例5.已知不定式127)1(log 1212121112+->+++++a n n n 对一切大于1的自然数n 都成立，求实数a 的取值范围。

分析：nn n 21211++++ 无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。

解析：令时，有当且2),2(21211)(≥≥∈++++=n n N n n n n n f 0)12)(1(2111221121)()1(f >++=+-+++==-+n n n n n n f n ， 所以)(),()1(n f n f n f ∴>+为增函数，且,127)2()(min ==f n f 由题意得21,0)1(log ,127)1(log 12112722<<<-∴+->a a a 解得。

点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出)(n f 的最小值。

用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。

6.建立函数关系解应用题例6.用总长为14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，要求底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

分析：这里有四个变量：底面的长、宽、长方体的体积和高。

设长、高可用x 表示，容积y 是x 的函数。

运用长方体的体积公式，建立目标函数表达式，再求函数的最大值。

解析：设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为).(22.34)5.0(448.14m x x x -=+-- 由6.100022.3<<>>-x x x 得和，设容器的容积为y(m 3),则有),6.10)(22.3)(5.0(<<-+=x x x x y 整理得x x x y 6.12.2223++-=，求导，得 6.14.462++-='x x y ，令,06.14.46,02=++-='x x y 有即,0411152=--x x 解得)(154,121不合题意，舍去-==x x 。

从而，在定义域），（6.10内只有在01='=y x 处使。

因此，当1=x 时，y 取得最大值，8.16.12.22max =++-=y 这时，高为)(2.1122.3m =⨯-。

答：当容器的高为1.2m 时，容积最大，最大容积是1.8(m 3)。

点评：此题容易忽视的时自变量x 的取值范围，缺少它，很难判断求出的最大值是否符合题意。

另外，适当设出自变量，建立函数关系是解此类题的关键。

本题在求函数最大值时，是用求导的方法求出极值点，再根据实际情况判断是最大值还是最小值。