平面向量线性运算的应用
例题1 已知：任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点。
求证：=
2
1
（+）。
证明：因为EF =EA +AB +BF ，EF =ED ++，
所以
2EF =EA +ED +AB +DC +BF +CF 。
因为E ，F
分别为AD ，BC 的中点，所以AE =ED ，BF =FC ， 所以EA +ED =0，BF +CF =0，所以2EF =AB +DC ，EF =2
1
（AB +DC ）。
所以命题成立。
总结提升：
用向量方法解决几何问题的步骤：
−−−→−−−→−−−→设向量运算还原
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题
典例二：向量的线性运算在物理中的应用
例题2 （1）在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°（如图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小。
（2）帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h ，此时水的流向是正东，流速为20 km/h 。
若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向。
解：（1）如图，两根绳子的拉力之和OA ＋OB ＝OC ，
且||＝||＝300 N ，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°。
在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°， 则∠OAC ＝90°，
F
E D C
B
A
从而|OA |＝|OC |·cos 30°＝1503（N ）， |AC |＝|OC |·sin 30°＝150（N ）， 所以|OB |＝|AC |＝150（N ）。
答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N 。
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v 1|＝20（km/h ），水流的方向为正东，速度为|v 2|＝20（km/h ），
设帆船行驶的速度为v ， 则v ＝v 1＋v 2。
由题意，可得向量v 1＝（20cos 60°，20sin 60°）＝（10，103），向量v 2＝（20，0）， 则帆船的行驶速度为
v ＝v 1＋v 2＝（10，103）＋（20，0）＝（30，103），
所以|v |＝2231030）
（+＝203（km/h ）。
因为tan α＝
30310＝3
3
（α为v 和v 2的夹角，且为锐角）， 所以α＝30°，
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为203 km/h 。
总结提升：
利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算。
第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算。
1. 平面向量线性运算在平面几何中的应用 问题类型
所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=，
其中1122(,),(,),0a x y b x y b ==≠
（2）用向量方法处理平面几何问题的“三步曲”
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题。
③把运算结果“翻译”成几何关系。
注意：向量是数学中证明几何命题的有效工具之一。
在证明几何命题时，可先把已知条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论。
一般地，利用实数与向量的积可以解决共线、平行、长度等问题。
向量的坐标表示把点与数联系了起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题。
2. 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题；
（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；
（3）求解参数，即求出数学模型的有关解——理论参数值；
（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题。
（答题时间：30分钟）
1. 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N。
2. 一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min。
3. 一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（）
A. 6 N
B. 2 N
C. 25N
D. 27N
4. 人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为（）
A. v 1－v 2
B. v 1＋v 2
C. |v 1|－|v 2|
D. |
2
1
v v | 5. 已知三个力F 1＝（－2，－1），F 2＝（－3，2），F 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4等于（ ）
A. （－1，－2）
B. （1，－2）
C. （－1，2）
D. （1，2）
6. 已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为（ ）
A. 53N
B. 5 N
C. 10 N
D. 52N
7. 已知作用在点A 的三个力f 1＝（3，4），f 2＝（2，－5），f 3＝（3，1），且A （1，1），则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为（ ）
A. （9，1）
B. （1，9）
C. （9，0）
D. （0，9）
8. 河水的流速为5 m/s ，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A. 13 m/s
B. 12 m/s
C. 17 m/s
D. 15 m/s
1. 答案：10
解析：设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角，
且|F 1|＝|F 2|。
∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N ， ∴每根绳子的拉力都为10 N 。
2. 答案：3
解析：∵v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2， |v 1|＝20 km/h ，|v 2|＝12 km/h ， ∴|v |＝2221||||v v - ＝2
2
1220-＝16（km/h ）。
∴所需时间t ＝
16
8
.0＝0. 05（h ）＝3（min ）。
∴该船到达B 处所需的时间为3 min 。
3. 答案：C 4. 答案：B 5. 答案：D
解析：∵物体平衡，∴F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0，
∴F 4＝－F 1－F 2－F 3＝－（－2，－1）－（－3，2）－（4，－3）＝（1，2）。
故选D 。
6. 答案：B
解析：如图，有|F 1|＝|F |cos 60°
＝10×
2
1
＝5（N ） 7. 答案：A
解析：f ＝f 1＋f 2＋f 3＝（3，4）＋（2，－5）＋（3，1）＝（8，0），设合力f 的终点为P （x ，y ），
则＝＋f ＝（1，1）＋（8，0）＝（9，1）。
8. 答案：A
解析：设小船在静水中的速度为v 1， 河水的流速为v 2， v 1与v 2的合速度为v ，
∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即小船在静水中的速度v 1斜向上游方向，河水速度v 2平行于河岸， 合速度v 指向对岸，
∴静水速度|v 1|＝222||||v v +＝2
2
512+＝13（m/s ）。