(
[a ] b
).
4、如果 p 是素数, a 是任意一个整数,则 a 被 p 整除或者( 与 p 互素 ). 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果 a,b 是两个正整数,则存在( 唯一 )整数 q, r ,使 a bq r , 0 r b .
三、计算题(每题 8 分，共 32 分)
A 3 B 3与9 C 9 D 3或9
二、填空题(每题 3 分，共 18 分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式 ax b 0(modm) 有解的充分必要条件是( ). 3、如果 a,b 是两个正整数,则不大于 a 而为 b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果 p 是素数, a 是任意一个整数,则 a 被 p 整除或者( ). 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的( ).
1、 求[136,221,391]=?（8 分）
解 [136,221,391]
=[[136,221],391]
=[ 13617221,391]
=[1768,391]
------------(4 分)
1768 391
= 17
..
..
（4 分）
...
=104 391 =40664.
------------
4、如果 a b(modm) , c 是任意整数,则
A ac bc(modm) B a b C ac bc(modm) D a b 5、如果( ),则不定方程 ax by c 有解.
A (a, b) c B c (a, b) C a c D (a, b) a 6、整数 5874192 能被( )整除.
------------（1 分）
我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是
(10,3),----------（2 分）
即定理 4.1 中的 x0 10 . （1 分）
------
因此同余式的 3 个解为
x 10(mod45) ,
---------（1 分）
x
ห้องสมุดไป่ตู้
10
45 3
(mod45)
25(mod45)
---------------------- （ 2
分）
..
..
...
13
(1)
271.131 22
27
1
1
27
13 13 ,-----------------（2 分）
即 429 是 563 的平方剩余.
---------------（1
分）
四、证明题(第 1 小题 10 分，第 2 小题 11 分，第 3 小题 11 分，共
32 分)
1、证明对于任意整数 n
,数
n 3
n2 2
n3 6
是整数.
(10 分)
证明
因为
n 3
n2 2
n3 6
=
n 6
(2
3n
n
2
)
=
1 6
n(n
...
初等数论考试试卷 1
一、单项选择题(每题 3 分，共 18 分)
1、如果 b a ， a b ，则( ).
A ab
B a b C a b
D a b
2、如果 3 n ， 5 n ，则 15（ ） n . A 整除 B 不整除 C 等于
D 不一定
3、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有 1 个 B 有限多 C 无限多 D 不一定
4、求 563 ,其中 563 是素数. （8 分）
四、证明题(第 1 小题 10 分，第 2 小题 11 分，第 3 小题 11 分，共
32 分)
1、证明对于任意整数 n
,数
n 3
n2 2
n3 6
是整数.
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被 5 整除.
3、证明形如 4n1的整数不能写成两个平方数的和.
有
x 2, y 1
，
-------------------（2 分）
所 以 原 方 程 的 特 解 为 x 96, y 48 ，
-------------------（1 分）
因 此 ， 所 求 的 解 是 x 96 7t, y 483t,t Z 。
-------------------（2 分）
3、解同余式12x 15 0(mod45) . （8 分） 解 因 为 (12,45)=3¦ 5, 所 以 同 余 式 有 解 , 而 且 解 的 个 数 为 3.
----------（1 分）
..
..
...
又 同 余 式 等 价 于 4x 5 0(mod15) , 即 4x 5 15y .
429
563 134
2
67
(1)
4292 8
1
67
429 429 429 429
429 ---------------（3 分）
67
(1)
67 1. 4291 22
429
429
429
67 67
27
(1)
271.671 22
67
67
67
27 27
,
-----------------（1 分）
x
10
2
45 3
(mod45)
40(mod45)
.---------（1
分）
429
4、求 563 ,其中 563 是素数. （8 分）
429
解 把 563 看成 Jacobi 符号,我们有
429
(1)
4291.5631 22
563
563
..
..
...
试卷 1 答案 一、单项选择题(每题 3 分，共 18 分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题 3 分，共 18 分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.
2、同余式 ax b 0(modm) 有解的充分必要条件是( (a, m) b ). 3、如果 a,b 是两个正整数,则不大于 a 而为 b 的倍数的正整数的个数为
..
..
...
6、如果 a,b 是两个正整数,则存在( )整数 q, r ,使 a bq r , 0 r b .
三、计算题(每题 8 分，共 32 分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程 9x 21y 144. 3、解同余式12x 15 0(mod45) .
429
2、求解不定方程 9x 21y 144.（8 分）
解 ： 因 为 （ 9 ， 21 ） =3 ， 3144 ， 所 以 有 解 ； ----------------------------（2 分）
化
简
得
3x 7y 48
；
-------------------（1 分）
考
虑
3x 7y 1
，