投影特性
m′
c′ a′
n′
b′ d′ b
c a n
d
如果一直线的正面投影垂直 如果一直线的正面投影垂直 正面投影 于一平面内正平线的正面投影， 于一平面内正平线的正面投影， 正平线的正面投影 同时其水平投影垂直于该平面内 同时其水平投影垂直于该平面内 水平投影 水平线的水平投影，则该直线垂 水平线的水平投影， 直于该平面。 直于该平面。
a
e
k b
一般位置的相交
参与相交的两元素都不垂直于投影面，其投 参与相交的两元素都不垂直于投影面， 都不垂直于投影面 影都没有积聚性，这种情况为一般位置的相交。 都没有积聚性，这种情况为一般位置的相交。
一般位置直线与一般位置平面相交
f′ 辅助平面
P N K M E B F
a′ e′ d′
A D
b′
b′ 1′ n′ a′ d′ b d 1(2 ) n a e m f c 2′ m′ f′ e′
c′
求平面ABC与平面 与平面DEF的交线。 的交线。 例 求平面 与平面 的交线
b′ e′
n′ a′ d′ b d m n a e 3 m′
f′ 3′ ( 4′ ) c′ 4 c f
三面共点法
a′
b′ f′ l ′ r′
2.4 直线与平面以及两平面的相对位置
2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 直线与平面以及两平面平行 直线与平面以及两平面相交 直线与平面以及两平面垂直 直线、 点、直线、平面的综合作图题示例
2.4.1 直线与平面以及两平面平行
直线与平面平行
几何条件
c′ A E F C P D e f B e′ f′
d′
a′ b′
b d a
c
若一直线与某平面上任一直线平行，则此直线与该平面平行。 若一直线与某平面上任一直线平行，则此直线与该平面平行。
几何条件
c′ A E F C P D e f B e′ f′
d′
a′ b′
b d a
c
若一直线与某平面平行，则在平 若一直线与某平面平行， 面上必能作出直线与原直线平行。 面上必能作出直线与原直线平行。
求平面ABC与平面 与平面DEF的交线。 的交线。 例 求平面 与平面 的交线
b′ e′
a′ d′ b d
m′
f′
c′
m f a e
c PH
求平面ABC与平面 与平面DEF的交线。 的交线。 例 求平面 与平面 的交线
b′ e′ QV
n′ a′ d′ b d m n f m′
f′
c′
c
a e
求平面ABC与平面 与平面DEF的交线。 的交线。 例 求平面 与平面 的交线
k′ g′
c′
d′ h′ s′
PV
e′
QV
a e r
b f l
k g
c s h
d
2.4.3 直线与平面以及两平面垂直
直线与平面垂直
几何条件
M
L2
K P N
L1
如果一直线垂直于平 面内的一对相交直线， 面内的一对相交直线， 则此直线垂直于该平面
直线与平面垂直
几何条件
M
L1 L2 P N K
如果一直线垂直于平 面内的一对相交直线， 面内的一对相交直线， 则此直线垂直于该平面
b′ p′ m′ n′
a′
c′
p m
b
c a n
例 求两平面交线，判别可见性 求两平面交线，
例 求平面ABC与平面P的交线 求平面ABC与平面P ABC与平面
b′ m′ n′
c′ PV
a′ a n m b c
迹线面参与相交时，不判别可见性。 迹线面参与相交时，不判别可见性。
例 求平面ABC与平面P的交线 求平面ABC与平面P ABC与平面
直线与平面垂直
几何条件
ML1 K P N源自L2如果一直线垂直于平 面内的一对相交直线， 面内的一对相交直线， 则此直线垂直于该平面
直线与平面垂直
几何条件
M
L1
L2
P
如果一直线垂直于某 平面，则此直线垂直于 平面， 该平面内的任意直线
N
投影特性
M V C N P B D A PH PV
H
如果一直线的正面投影垂直 如果一直线的正面投影垂直 正面投影 于一平面内正平线的正面投影， 于一平面内正平线的正面投影， 正平线的正面投影 同时其水平投影垂直于该平面内 同时其水平投影垂直于该平面内 水平投影 水平线的水平投影，则该直线垂 水平线的水平投影， 直于该平面。 直于该平面。
b′ m′
c′ PV
a′ a c m b
迹线面参与相交时，不判别可见性。 迹线面参与相交时，不判别可见性。
投影面垂直线与平面相交
m′ 1′ ( 2′ ) k′
N k b B c H
D K A d a m(n)
M C
d′
c′
a′
e′ n′ d 2
b′
m(n) 1
c
直线与平面相交， 直线与平面相交，当直线 的投影有积聚性时， 的投影有积聚性时，交点的一 个投影已知，另一投影用面上 个投影已知，另一投影用面上 的方法求出。 取点的方法求出 取点的方法求出。
b′ e′ f′ c′ a′
c f b e a
例：过点K作平面平行于二交叉直线AB和CD。 过点K作平面平行于二交叉直线AB和CD。 AB
1′
k′ 2′
c′
a′
b′
d′
1 a k b
2
d
c
例：过点K作平面平行于二交叉直线AB和CD。 过点K作平面平行于二交叉直线AB和CD。 AB
3′ 1′ 4′ a′ b′ d′ k′ 2′ c′
重影点判别法
a′ ( 1′ ) 2 ′ m′ b′ n′ p′ c′
判别规则： 判别规则：
a 1 n p c 2 m b
同一直线上交点两侧 可见性相反。 可见性相反。 通过每一交叉点（重 通过每一交叉点（ 影点）的两条直线可见 影点） 性相反。 性相反。
例 求两平面交线，判别可见性 求两平面交线，
特殊位置的相交
参与相交的两元素中，至少有一个垂直 参与相交的两元素中， 于某投影面，其投影有积聚性，这种情况为 于某投影面，其投影有积聚性， 积聚性 特殊位置的相交，作图较为简便。 特殊位置的相交，作图较为简便。
直线与特殊位置平面相交
p′
b′ k′
B P K b A k a H
a′
p k a
b
直线与平面相交，当平面的投影有积聚性时， 直线与平面相交，当平面的投影有积聚性时，交点的 的方法求出。 一个投影已知， 一个投影已知，另一投影用线上取点的方法求出。
若已知两平面平行，则 若已知两平面平行， 如在第一平面内任取一条直 线，在第二平面内必能作出 一条直线和该直线平行。 一条直线和该直线平行。
例：判断两平面是否互相平行。 判断两平面是否互相平行。
b′ 2′ d′
f′ 1′
a′
c′
e′
f b a d e c 2 1
例：判断两平面是否互相平行。 判断两平面是否互相平行。
d
PH b
用正垂面作辅助面
f′ a′ m′ e′ k′ 3′ n′ 4′ d′
b′
QV
a e m f k n 3(4 )
d
b
两一般位置平面相交
求两平面的交线， 求两平面的交线，只要求出两平面的 两个公共点或一个公共点和交线的方向。
线面交点法 三面共点法
线面交点法
E B M A D F N C
在相交的两平面内 任取两条直线，分别求 任取两条直线， 两条直线 出它们与另一平面的交 点，连接起来即为两平 面的交线。 面的交线。
m
投影特性
M V C N P B D A PH PV
H
如果一直线垂直于一平面， 如果一直线垂直于一平面， 则该直线的正面投影垂直于该平 则该直线的正面投影垂直于该平 正面投影 面内正平线的正面投影，该直线 面内正平线的正面投影， 正平线的正面投影 的水平投影垂直于该平面内水平 水平投影垂直于该平面内水平 垂直于该平面内 线的水平投影。 线的水平投影。
4 a 1 k 3 b 2 d
c
平面与平面平行
c′ b′ F C D Q B A P a E c f b d e a′ d′ f′ e′
几何条件
若两平面内各有一对相交直线对应平行，则两平面互相平行。 若两平面内各有一对相交直线对应平行，则两平面互相平行。 相交直线对应平行
几何条件
C D A Q B P
可见性判别
a′ m′ b′
N P a M B m b n c H C
直观判别法
A
n′
p′ c′
a
n
p c
m b
甲乙两平面相交，两平面的可见 甲乙两平面相交， 性总是以交线为界，若交线的一侧为 性总是以交线为界， 以交线为界 甲面可见，另一侧必为乙面可见。 甲面可见，另一侧必为乙面可见。
可见性判别
特殊位置的线面垂直问题
m′ p′
n′
m′
PV
p′
m′(n′)
n′ m p n m PH n m p n
平面与平面垂直
几何条件
A
B P
如果一直线垂直 于一平面，则包含此 于一平面， 直线的一切平面都与 该平面垂直。 该平面垂直。
几何条件
K Q L P
K Q L P
如果两平面互相垂直，则从一平面上任一点向 如果两平面互相垂直， 另一平面所作的垂线必在前一平面上。 另一平面所作的垂线必在前一平面上。
过点K作一平面垂直平面ABCD ABCD。 例 过点K作一平面垂直平面ABCD。