三角函数辅助角公式化简修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】三角函数辅助角公式化简一、解答题1．已知函数()22sin cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， x R ∈（1）求()f x 的对称中心；（2）讨论()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.2．已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期；（2）求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及取得最值时x 的值.3．已知函数()4tan sin cos 23f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间及最大值与最小值．4．设函数()2sin cos f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间.5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.6．已知函数()21cos cos 2f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[]0,π上的单调区间.7．已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间（3）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.8．设函数()()sin ?cos 2tan x x x f x xπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=.（1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性.9．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标；(Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。

10．已知函数.(1)求 的最小正周期；(2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围.11．设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1a =， 3bc =，求b c +的值.12．已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值.13．设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.14．已知()()13sin cos cos 2f x x x x ωωω=+-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围.15．已知a =（sinx ，cosx ），b =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数f （x ）=a ?b 且f （3π－x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4π]上恒成立，求实数a 的取值范围．16．已知向量a =（2cos2xω， 3sin2xω），b =（cos2xω，2cos2xω），（ω＞0），设函数f（x ）=a ?b ，且f （x ）的最小正周期为π．（1）求函数f （x ）的表达式；（2）求f （x ）的单调递增区间．17．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.（1） 求函数()f x 的解析式；（2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程;（3） 若142f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．已知函数（1）求函数在上的单调递增区间；（2）若且，求的值。

19．已知()22cos sin 3sin cos sin 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅++⋅- ⎪⎝⎭，（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）设△ABC 的内角A 满足()2f A =，而3AB AC ⋅=，求边BC 的最小值．20．已知函数()cos 3cos cos 2f x x x x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．21．已知()223cos sin231f x x x =+-+ ()x R ∈，求： （1）()f x 的单调增区间；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.22．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求的值；（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.23．已知函数()44cos sin2sin f x x x x =--. （1）求函数()f x 的递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值.24．已知函数()2cos 2sin 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的对称中心和单调递减区间；（2）若将函数()f x 图象上每一点的横坐标都缩短到原来的12（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的表达式.参考答案1．（1）对称中心为,0212k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， k Z ∈；（2）增区间为,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，减区间为,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x 轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间．试题解析：1）由已知()21cos 21cos2113cos2sin 222426x x f x x x x ππ⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭=-=-=- ⎪⎝⎭令26x k ππ-=，得,212k x k Z ππ=+∈，对称中心为,0212k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， k Z ∈. （2）令222262k x k πππππ-≤-≤+， k Z ∈得63k x k ππππ-≤≤+， k Z ∈,增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤-≤+， k Z ∈ 得536k x k ππππ+≤≤+， k Z ∈,增区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增区间为,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，减区间为,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 2．（1）()f x 2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， T π=；（2）4x π=-时， ()min 1f x =-，12x π=时， ()max 2f x =.【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由周期公式可得答案；（2）由x 的范围可得22633x πππ-≤+≤的范围，可得f （x ）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x 值．试题解析：（1）()24sin cos cos sin sin 2sin cos 33f x x x x x x x ππ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭sin22sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以22T ππ==. （2）因为46x ππ-≤≤，所以22633x πππ-≤+≤所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()12f x -≤≤， 当236x ππ+=-，即4x π=-时， ()min 1f x =-，当232x ππ+=，即12x π=时， ()min 2f x =.3．(1) π (2) ()f x 最大值为-2，最小值为1．【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据22T ππ==求周期；（2）先求出函数()f x 的单调递增区间，再求其与区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的交集即可；根据23x π-的取值范围确定函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值。

试题解析：（1）()4tan cos cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭4sin cos 3x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭14sin cos 22x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =+)sin21cos2x x =-sin22sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭．所以()f x 的最小正周期22T ππ==． （2）令23z x π=-，函数2sin y z =的单调递增区间是2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+， k Z ∈．设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 5{|,}1212B x k x k k Z ππππ=-+≤≤+∈，易知,124A B ππ⎡⎤⋂=-⎢⎥⎣⎦．所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， ()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增。

∵44x ππ-≤≤，∴52636x πππ-≤-≤， ∴1sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴12sin 223x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭∴()f x 最大值为2，最小值为-1．点睛：解题的关键是将函数化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式后，把ωx ＋φ看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”， 如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．4．（1）T π=，最大值为1（2）()5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期T 及最大值；（2）根据正弦函数性质列不等式()222Z 232k x k k πππππ-+≤+≤+∈，解得函数()f x 的单调递增区间.试题解析：解： ())1cos21sin2222x f x x +=+-1sin2sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ （1）T π=当2232x k πππ+=+即()Z 12x k k ππ=+∈时()f x 取最大值为1 （2）令()222Z 232k x k k πππππ-+≤+≤+∈∴()f x 的单调增区间为()5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦5．(1)答案见解析；(2) ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式可得()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数的最小正周期为T π=；对称轴方程为()3x k k Z ππ=+∈；(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.试题解析：（1）()22344f x cos x sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()12222cos x sin x sinx cosx sinx cosx =++-+221222cos x x sin x cos x =++-12222cos x x cos x =+- 26sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 22T ππ∴==周期 由()()2,6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5,,2,122636x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以 当3x π=时， ()f x 取最大值 1又11222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x π=-时， ()f x 取最小值所以 函数 ()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．(1) ,1,212k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭ (2) 50,,36πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】试题分析：(1) ()21cos cos sin 2126f x x x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，令26x k ππ-=解得x 即可(Ⅱ) 求()f x 在[]0,π上的单调区间，则令222262k x k πππππ-≤-≤+解得x,对k 赋值得结果.试题解析：(Ⅰ) ()1cos21sin 21226x f x x x π+⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 令26x k ππ-=，得212k x ππ=+， 故所求对称中心为,1,212k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭(Ⅱ)令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈又由于[]0,x π∈，所以50,,36x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故所求单调区间为50,,36πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成()sin y A wx ϕ=+ 类型，把wx+ ϕ 看成整体进行分析.7．（1）T π=；（2）单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）()min 1f x =-， ()2miax f x =.【解析】试题分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化简得：() 2sin 26f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而得最小正周期；（2）由2k 22,62x k k Z ππππ≤+≤+∈可得增区间；（3）由64x ππ-≤≤得22663x πππ∴-≤+≤，根据正弦函数的图象可得最值. 试题解析：(1)()214cos sin 14cos cos 1cos 2cos 162f x x x x x x x x x π⎫⎛⎫=+-=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos2x x =+ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.()f x ∴的最小正周期T π=. （2）由2k 22,62x k k Z ππππ≤+≤+∈解得k ,36x k k Z ππππ-≤≤+∈∴函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(3) 64x ππ-≤≤232x ππ∴-≤≤22663x πππ∴-≤+≤ ∴当266x ππ+=-时， x 6π=-， ()min 1f x =-当262x ππ+=时， x 6π=， ()2miax f x =.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.8．（1）T π=（2）()f x 在区间0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得()f x 的最小正周期；（2）根据正弦函数性质求0,)2π上单调区间，即得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性.试题解析：（1）()()2sin ?cos sin cos f x x x x x x x ==12sin2sin 2232x x T πππ⎛⎫==++⇒== ⎪⎝⎭ （2）令222232k x k πππππ-+<+<+，解得51212k x k ππππ-+<<+（k Z ∈） ∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ ()f x 在区间0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.9．(Ⅰ) 最大值为2，对称中心为： (),0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；(Ⅱ) 递增区间：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；递减区间： 5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）由正弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可知最大值为2，对称中心由26x k ππ-=，解得x 可求。