第二节
缓和曲线的正矢
一、缓和曲线的计划正矢 1．缓和曲线中间各测点的正矢 所谓缓和曲线中间各测点是这样一些点：当测 正矢的弦线两端所在的测点为缓和曲线上的点时， 弦线中央所对的测点即为缓和曲线中间测点。 设缓和曲线的曲率半径为 ，根据正矢与半 径的关系可得： 2
fi
式中 ——曲率半径，
2.缓和曲线具有以下几何特征：
(1)缓和曲线连接直线和半径为R的圆曲线，其曲率由零至
1/R逐渐变化。 (2)缓和曲线的外轨超高，由直线上的零值逐渐增至圆曲 线的超高度，与圆曲线超高相连接。 (3)缓和曲线连接半径小于350m的圆曲线时，在整个缓和 曲线长度内，轨距加宽呈线性递增，由零至圆曲线加宽值。
由此得:2Rf= 2 f 2
上式f值比R甚小,f2可省略不计算,并不影响使 用的要求。于是得
Ｏ
Ｅ
圆曲线正矢计算图
2 f (1/ 2 R) 2R
2
10 1000 50000 当取10m时,有 fy (mm) 2R R
所谓圆曲线中间各测点是这样一些点：当测 正矢的弦线两端所在的测点为圆曲线上的点时， 弦线中央所对的测点即为圆曲线中间测点，其计 划正矢都相等，为
曲线轨道方向整正
主讲：刘永孝 道路与铁道工程系
补充知识
缓和曲线
一、由直线直接进入圆曲线有以下问题
O
（1）离心力F
α
离心力的产生和消失太突然
YZ
mv 2 F R
（2）无法设置超高过渡段 （3）无法设置加宽过渡段
α
ZY
T T
缓和曲线
二、缓和曲线的作用及其几何特征
1.缓和曲线的作用是：行车缓和；超高缓和；加宽缓和。
一、渐伸线原理
始切线 渐 伸 线
渐伸线与O点的始切线相交于Aˊ点，AAˊ线段的长度就 是A点对切线OAˊ渐伸线长度 渐伸线的２个特性： （１）渐伸线的法线M３N３，M２N２，…就是对应点上的原曲 线切线；
一、渐伸线原理
始切线 渐 伸 线
（２）渐伸线上某点（M3,N3）间曲率半径的增量（M3N3-
50000 fy (mm) R
曲线方向的检查及其圆顺标准
目的：恢复曲线的圆顺度
方法：①绳正法（正矢法） 它是利用曲线上正矢与半径以及正矢与拨量的关系， 计算应拨动的数量，将曲线拨正，使之圆顺。
这种方法是在曲线上每10m设测点（用弦代替弧）， 用一根20m长的弦线，两端拉紧并贴靠轨道外轨内侧轨 顶面下16mm处，在弦线中点准确量出弦线至外轨内侧
j 0
en En En 2
i 0
i n1 j i
( f f ) 2 df
j 0 i 0 j 0
i n1 j i
df 为各测点现场正矢与计划正矢之差，简称“正矢差”。
拨量en的计算，可用下表进行。
拨 量 计 算 表
测 点 现 场 正 矢 f 计 划 正 矢 f＇ 正 矢 差 df 正矢差累计 正矢差累计的合计 （半拨量） 全拨量
的距离，叫做“现场实测正矢”或“实测正矢”。
（二）曲线现场正矢的测量
使用20m长的弦，将弦的两端放在测点上股钢轨内侧钢 轨顶面下16mm位置，然后在中间测点处测量从弦线至轨头 内侧的距离即正矢。 测量正矢要求做到“三不”，“三要”，“两准确”。 （1）“三不”是：在大风天气情况下不测量正矢，弦线拉得时 紧时松用力不一致时不测，弦线未放在轨头下16mm处不
2
C Rl0 l l
则：
λ2 l λ2 l fy fi Rl l0 2 R λ l0 2 0 l λ
令
Ni
l

; m0
l0

fi Ni
fy m0
Ni f d
式中 Ni——测点距缓和曲线始点的段数； m0——缓和曲线全长的段数； fd——缓和曲线正矢递变率，
M2N2)等于曲线OA相应点(N3,N2)间弧长的增量（N3N2) 根据渐伸线的定义和特点,曲线拨动时作2点假定: (1)曲线上任意一点拨动时都沿渐伸线移动的; (2)曲线上拨动前后其长度不变
二、拨量计算
如图测点n 要向内拨 动en，才能达到正确位 置 n ，如果把n 点沿
拨前曲线An上各点的切线方向展开，并使它永远保持
l
直角坐标方程： x3 3x3 y 1 2 6C 40C
如取第一项
x y 6C
3
四、确定曲线主要桩点的里程
T
HY
QZ
α
YH
xzh xQZ
YZ
l0
ZY ZH
l0 l0/2
ly l0/2 L
xhy xQZ
Z H
Ly l0 2 2 Ly l0 2 2
df
5
df
6
2 df
7
1
2
3
4Hale Waihona Puke 0 1 2 3 4n
f0 f1 f2 f3 ┇ ┇ ┇ ┇ fn
l0 /2
l0 /2
x yh xQZ
xhz xQZ
Ly l0 2 2
Ly l0 2 2
T
HY
QZ
α
YH
xzh xQZ
YZ
l0
Ly l0 2 2 Ly l0 2 2 Ly l0 2 2 Ly l0 2 2
ZY ZH
l0 l0/2
ly l0/2 L
４）当zh,hz点为测点时，其计划正矢为：
1 f zh f hz f d 6
当hy、yh点为测点时，其计划正矢为：
1 f hy f yh f y f d 6
b b
0
a
m+3
a b
n
H Y
H Y
n+1
b a
a
二、铁路曲线验收标准
1、曲线正矢作业验收容许偏差
曲线半径R (m) R≤250 250<R≤350 350<R≤450 缓和曲线的正矢 与 计算正矢差(mm) 6 5 4 圆曲线正矢 连续差 (mm) 12 10 8 圆曲线正矢最 大 最小值差(mm) 18 15 12
450<R≤800
R>800 υmax≤120 km／h υmax >120km／h
3
3 2
6
6 4
9
9 6
注：曲线正矢用20m弦在钢轨踏面下16mm处测量。
第三节
曲线整正计算
曲线整正的目的就是将遭到破坏的轨道平面恢复圆顺，这个 过程称为曲线拨正或曲线整正。 曲线整正分为量、算、拨3个步骤进行 （1）在现场测取曲线上测点的正矢。 （2）把现场量取测点正矢的数值，通过计算求得最佳拨道量。 （3）按着计算拨量数据进行现场拨道，使曲线达到正确的方向 和位置。
半径的累积圆弧段
来表示。
E1 2 f 0
E2 4 f 0 2 f 1 2( 2 f 0 f 1) E3 6 f 0 4 f 1 2 f 2
各测点相应 的渐伸线长度 为：E1， E2， E3，…En。
2( 3 f 0 2 f 1 f 2) En 2(nf 0 (n 1) f 1 (n 2) f 2 2 fn 2 fn 1
2
i 0
i n 1 j i

j 0
f
由式可以得出：第n点的渐伸线长
度En，等于到前一点(n－1)为止的正
矢累计的合计数的两倍。
同理，对于正矢为计划正矢 f 的曲线上 n 点的渐伸
线长度为： En 2
i n 1 j i i 0
f ， 得到n点的拨量为：
三、常用缓和曲线
l Rl0 C
C称为缓和曲线半径变更率
l 为计算点到zh或hz点的曲线长度
Y
O

l
X
为计算点的半径
l0 为缓和曲线长度，它为10m的倍数
三、常用缓和曲线
参数方程：
l
l4 l5 x 1 2 dl l 0 8C 40C 2
l2 l3 y dl 0 2C 6C
b
a
a
b z 6
3
a3 h (b ) 6 a3 f1 f k h f d (b ) f d 6
b3 f 0 f k 1 z f d fd 6
当缓和曲线始点(ZH)位于0点时，此时，a＝o，b＝1， az=b3/6=1/6, aH-1=b+a3/6=1
3
所以
b3 λ 3 f0 az f d 6 2 Rl0
2．zh、hz点附近的各点的计划正矢
由于缓和曲线 始点处的曲率 极小，可以认 为f1在y1的延长 线上。
则
1 1 2 a b 1 3 3 f1 y2 y1 6 6a a 2 2 6Rl0 6Rl0 6 2Rl0
３．hy、yh点附近的各点的计划正矢
b a
b
a a b
b
a
当缓和曲线终点位于m点时，a=1,b=0,则
a H 2
故
a3 1 b 6 6
fn f y 1 fd 6
b3 ay 0 6
f n1 f y
即当缓和曲线终点位于测点时，其正矢为圆曲线计划正矢 减去缓和曲线正矢递变率的六分之一。
1 f0 az f d f d 6
f1 aH 1 f d f d
即当缓和曲线始点位于测点时，其正矢为缓和曲线正 矢递变率的六分之一。
３．hy、yh点附近的各点的计划正矢
b a
a a b
b
b
a
b y 6