株洲师范高等专科学校2010届毕业论文材料系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称:讲师专业：物理教育班级：07 物理教育2010年5月目录1、毕业论文课题任务书 (2)2、毕业论文开题报告 (4)3、指导教师评阅表 (8)4、评阅教师评阅表 (9)5、答辩及最终成绩评定表 (10)6、毕业论文 (11)2010届毕业论文课题任务书系：物理与电子工程系专业：物理教育株洲师范高等专科学校毕业论文开题报告系部_______物理与电子工程系____ 专业物理教育题目二阶偏微分方程的常规解与特殊解学生姓名__刘进萍学号04107103_指导教师周昕___职称__ 讲师_____2010年5月20日说明：开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一，此报告应在导师指导下，由学生填写，将作为毕业论文（设计）成绩考查的重要依据，经导师签署意见及系审查后生效。

株洲师专2010届毕业论文指导教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文评阅教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文答辩及最终成绩评定表系（公章）：物理与电子工程系株洲师范高等专科学校2007届毕业论文弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称讲师专业：物理教育班级：物理教育班完成时间：2010年5月弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解物理与电子工程系物理教育专业2007级刘进萍指导老师周昕摘要：对于弦振动的二阶偏微分方程，一般采用分离变法来解。

如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v, 从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。

该种方法物理意义明确，求解过程相对简化。

关键词：二阶偏微分方程；推迟因子；弦振动；波的传播Abstract: For the partial differential equation of two ranks, we often use separation reform to solution. If we consider its physical significance, from the source X0 wave is the source of vibration in time delayed t = X0 / v, which will be the source of vibration equation introduced delay partial differential equations, the factor of offspring will meet equation, the vibration equation is the partial differential equations of the solution. This method has clear physical meaning and the solving process is relatively simple.Keywords:partial differential equation of two ranks; suspend gene; libration of string; transmit ion of wave前言在解弦振动的二阶偏微分方程时, 在数学上，一般采用分离变法来解，这是一种纯数学的方法。

如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v,即引入推迟因子t,从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。

电磁波也是一种波，其振动应该也满足该理论。

从而讨论了电磁波的振动的推迟与能量的推迟。

1 弦的振动设:有一根均匀柔软的细弦,平衡时沿直线拉紧,而且除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重力外,不受外力影响.如图1所示，设弦上具有横坐标x 的点在时间t 时的位置为M,位移MN 记作u,显然u 为x 、t 的函数，记为u(x,t).在弦上任取一弦段'MM ,其长为ds ,ρ为弦向线度,弦段'MM 两端的所受的张力记作T,T '.由于假定弦柔软,所以任一点处的弦力方向为沿弦该点的切线方向.现在考虑'MM 在t 时刻的受力情况.[1]图 1在x 轴方向, 'MM 受力的总和为''cos cos TT αα-+,由于弦只作横向振动,所以''cos cos 0T T αα-=,由α很小,由麦克劳林函数24211cos 1 (1) (12141)(2)!nn αααα=-+++-∙+= (1)同理'cos 1α≈ (2)得T=T '在u 方向弦段'MM 受力的总和''sin sin T T egds αα--- (3)∵'0αα≈=,(,)sin tan u x t xαα∂≈=∂ (4)(,)''sin tan u x dx t xαα∂+==∂(5)ds (6)小弦段在时刻t 沿u 方向运动的加速度近似为2(,)u x t x∂∂,小弦段的质量为ds ρ.∴2(,)''sin sin 2u x t T T egds eds xαα∂-+-=∙∂ (7) 变化可得22(,)(,)22Tu x t u x t gx tρ∂∂∙≈+∂∂ (8)∵ g 相对于22u t∂∂很小, ∴g 忽略,得22222u u t x α∂∂=∂∂2Tαρ=(9)加上初始条件222,0,2200,00(),(),000u u x L t t x U U t x L x u U x x x Lt t t αψ∂∂=∂∂====∂==ψ≤≤==∂⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＜＜＞0 ︱，︱＞︱︱（10）这样就建立了上述偏微分方程，加上初始条件与边界条件，就只需对上述方程求解，下面通过两种方法求解。

一种是在数学物理方程中，采用纯数学的方法来解，即分离变量法;另一种是应用其特殊的物理意义提出推迟因子来求解，先介绍第一种方法.2 常规解利用分离变量法求解: [2]令(,)()()x t x t U X T = (11)则2''()()2x t u X T t ∂=∂ 2''()()2x t u X T x∂=∂ (12) 代入(10)中''2''()()()()x t x t X T a X T =∙ 变形得''''()()2()()X T x t X a T x t λ==- (13) 得''20(14)()()''0(15)()()T a T t t X X x x λλ+=+=⎧⎪⎨⎪⎩1. 对(11)式求解,加入边界条件''()()(0)()00x x i X X X X λ⎧+=⎪⎨==⎪⎩ (16) ⑴λ＜0时,()x X A B e =∙+∙代入边界条件得0,0A B A B A B e +==-⎧⎪⎨∙+∙=⎪⎩(17) ∴得 A=B=0, 不符,舍去. ⑵λ＞0时,令λ=2β, 得()cos sin x X A x B x ββ=+ (18)代入电解条件得 A=Osin 0B l β= (19)n lπβ=(n=1.2.3.........)∴()sin x n X Bn x lπ= (n=1.2.3......) (20)2. ()()22''2()()2(0)()0()021,(0)22t t t x t x n T a T l u U x l t πϕϕ==⎧+=⎪⎪⎨∂⎪==≤≤⎪∂⎩︱同理可求得其通解为''()cossinn a n a T t C n t D n tn llππ=∙+∙(n=1.2.3.....)(23)cos sin sin(,)()()n a n a n x U T X Cn t Dn t n x t n t x l l l πππ=∙=∙+∙∙⎛⎫ ⎪⎝⎭(24)将所有函数Un(x,t)叠加起来 (∵解满足叠加原理)cos sin sin (,)1n a n a n a U Cn t Dn t n x t n l l l πππ∞∑=∙+∙∙=⎛⎫ ⎪⎝⎭(25)(,)0()1sin n x t t x n n U Cn x lπϕ∞===∙=∑︱ (26)sin 0()1u n a n Dn x t x n t l lππϕ∞∂∑=∙===∂︱ (27)由傅立叶级数2sin (28)0()2sin (29)0()n l Cn xdx x l l n l Dn xdx x n lπϕπϕπα=∙⎰=∙⎰⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(,)22sin cos sin sin sin 00()()1x t n n a n n a n l l xdx t xdx t x x x n l l l n l l lU πππππϕϕπα∞∑∙∙+∙∙⎰⎰=⎛⎫= ⎪⎝⎭(30)这是一种纯数学的方法。

该方法在数学计算上是相当的繁琐，对数学知识要求高，没有反映出物理本质。

如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X 0/v,即引入推迟因子t,从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解，从而引入特殊解法。

3 特殊解法(推迟因子)由于平面简谐波为平面波特解，在离震源x 处的点，其振动就是相对于震源推迟了X/V 。

现在对22222u u a t x∂∂=∂∂ 提出尝试解cos ()x u A t vω=-可转化为cos ()xu A t vω=- （31）如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v,即引入推迟因子t,从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。

令w/v=kU cos()A t kx ω=-()i t kx Aeω-=i tikxAeeω-=∙ (32)222i tikxu A eetωω-∂=∙∂ (33)222i t ikxu Ak e e xω-∂=∙∂(34)由22Ta vρ==(35)则v =(β为线密度,T 为张力)[3]代入上式中得222222i t ikx i t ikx i t ikx A e e Ak e e v Av e evωωωωω---∙=∙∙=∙∙∙ (36) 等式显然成立由此可知尝试解为此微分方程的解 而为什么会是它的解？提出推迟因子ikxe-2(,)ixi tvx t U A eeωω-=∙ w/v=k (37)令()cos i tt T AeA t ωω== (38)为振源的振动方程令()i tx X eω= 为推迟因子从而可知该种方法与推迟因子的引入是完全正确的,下面对比前一种方法来进行讨论.4、两种解的讨论4.1 波的传播即本质为振动的传播，能量的传播，在离震源x 处的点，其振动就是相对于震源推迟了kx ，令x=0，即为震源的振动方程。