1. 课本2p 有证明2. 课本812,p p 有说明3. 课本1520,p p 有说明4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ϕϕϕ是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可表为1nn i i i u c ϕ==∑，则,1111()(,)(,)(,)(,)22j nnn n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ϕϕϕϕ=，令()0n jJ u c ∂=∂，从而得到12,...n c c c 满足1(,)(,),1,2...nijij i a cf j n ϕϕϕ===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1nn i i i u c ϕ==∑，从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1nn i ii u c ϕ==∑，利用,1111()(,)(,)(,)(,)22j nnn n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程Galerkin 法：为求得1nn i ii u c ϕ==∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,)n a u V f V =，对任意nV u ∈或（取,1j V j nϕ=≤≤）1(,)(,),1,2...nijij i a cf j n ϕϕϕ===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1nn i i i u c ϕ==∑的过程称Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程：1(,)(,)nijij i a cf ϕϕϕ==∑5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。

6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i ix x -之间的小区间1[,]i i i I x x -=，1i i i h x x -=-，由节点上的一组值0120,,...l u u u u =，按线性插值公式11()i i n i i i ix x x x u x u u h h ----=+○1 ,1,2...i x I i n ∈=确定试探空间n u ，令1()i i ix x F x h ξ--==○2 把iI 变到ξ轴上的参考但愿[0,1]令01()1,()N N ξξξξ=-=则：011()()()n i iU x N u N u ξξ-=+，i x I ∈○3将○1带入该函数221()(2)2b a J u pu qu fu dx '=+-⎰得到：22221111()(2)()22i i n nb n nn n a I I i i J u pu qu fu dx pu qu dx fu dx ==''=+-=+-∑∑⎰⎰⎰带入○2可得 21211101101()1()[()()(()())2n i i n i i i i i i i i iu u J u p x h h q x h N u N u d h ξξξξξ----=-=++++∑⎰1101101()(()())ni i i i i i h f x h N u N u d ξξξξ--=-++∑⎰○4 令1,11,1()0n j j j jj j j j j j jJ u a u a u a u b u --++∂=++-=∂○5 其中111,110111,111011112,11111100[()]()(1)][()]()(1)][()]()][()]()(1)]j j jj j j j jj j j j j i j j j j j j j j j j j j j j i j j a h p x h h q x h d a h p x h h q x h d a h p x h h q x h d h p x h h q x h d b ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ-----++++----++++=-+++-=-+++-=-++++-+++-=⎰⎰⎰⎰1111100()()(1)j j jj j j h f x h d h f x h d ξξξξξξ-++⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪+++-⎩⎰⎰从而得到12,,...,nu u u 的线性方程组！7.矩形剖分假定区域C1可以分割成为有限个互不重叠的矩形的和，且每个小矩形的边和坐标轴平行，任意两个矩形或者不相交或者有公共的边和公共的顶点，成如此的分割为矩形剖分基函数的取法(1)(1),(,)0,()i iij ij x x y y x y R x yothers ϕ⎧----∈⎪=∆∆⎨⎪⎩其中ij R 是以(,)i j x y 为顶点的矩形单元 ,0x y ∆∆>为ij R 的底和商的长度。

8. 何为三角剖分，基函数怎样取？三角剖分：设G 是多边形域（否则可用多边形域逼近它），将G 分割成有限个三角形之和，使不同三角形无重叠的内部，且任一三角形的顶点不属于其他三角形的内部，这样就把G 分割成三角形网，称为G 的三角剖分。

基函数的取法：通过构造Lagrange 型插值公式可以得到基函数的取法。

不妨以1(,)P x y 是一次多项式为例，得到1112233(,)P x y L L L μμμ=++，其中L 1是相应于节点1的基函数在△上的限制（具体的过程，可参考课本：P 57 P 58）9.题，参考课后习题P92的第一题，具体过程可参考积分插值的推导过程10，11题不会。

在此将14题推导过程介绍如下：12. 对Possion 方程(,)f x y μ-∆=，建立五点差分格式，并估计截断误差。

取定沿x 轴和y 轴方向的步长h 1和h 2，沿x,y 方向分别用二阶中心差商代替，则1,,1,,1,,1221222[]i j i j i ji j i j i j h ij ij f h h μμμμμμμ+-+--+-+-∆=-+= （五点差分格式）式中,i j μ表示节点(i,j)上的网函数。

令(,)n i j ij x y μμ= (,)(,)n i j ij i j f x y f f x y == 利用Taylor 展式有2462411611122461(,)2(,)(,)(,)(,)(,)()12360i j i j i j i j i j i j x y x y x y x y x y x y h h h h x x xμμμμμμο+--+∂∂∂=+++∂∂∂2462411622222462(,)2(,)(,)(,)(,)(,)()12360i j i j i j i j i j i j x y x y x y x y x y x y h h h hy y yμμμμμμο+--+∂∂∂=+++∂∂∂截断误差为44224212441()(,)(,)()()()12ij i j n i j ijR x y x y h h h h x yμμμμμοο∂∂=∆-∆=-+++∂∂13. 对possion 方程建立，极坐标形式的差分格式poission 方程的极坐标形式为22211[()](,)f γθγγμμμγγθγγθ∂∂∂-∆=-+=∂∂∂ ----- ①其中γ=tan yxθ=0γ≤≤∞ 02θπ≤≤ 利用中心差商公式11,11,11,2222(,)2()11[()]i j i j i j i ji i i i ih γθγγγγμγγμγμμγγγ+-++---++∂∂≈∂∂ ----- ②2,1,,1(,)2222211[]i j i j i j i j i h γθθμμμμγθγ+--+∂≈∂ ----- ③ 将② ③两式代入①式得11,11,11,,1,,12222222()211[](,)i j i j i ji i i i i j i j i j i j i i f h h γθγμγγμγμμμμγθγγ+-++--+--++-+-+= 即poission 方程极坐标形式的差分方程。

14. 解：将1111,,,k k k k j j j j u u u u 按照Taylor 在k j u 处展开整理得到其截断误差为在Richardson 格式（4.1.10）中以111()2n n n j j j μμμ+-=-代入，便得DuFort Frankel 格式： 1111112()()2n n n n n nj j j j j j ah μμμμμμτ+-+-+---++=23412341234111(,)2624n n jjj n x t t t t t μμμμμμττττθ+∂∂∂∂=++++∂∂∂∂ ----- ①23412342234111(,)2624n njjj n x t t t t tμμμμμμττττθ-∂∂∂∂=-+-+∂∂∂∂ ----- ② ①-② 得 11323126n n j jt tμμμμττ+--∂∂=+∂∂ （省去了2τ的商阶无穷小） 从而得到了微分方程左边的误差32316t μτ∂∂同理可得微分方程右边的误差：244242424422422242442241()()12121212a h ah a h a h t t t t t h t h t μμμμμτμτμττ∂∂∂∂∂∂∂+++=++∂∂∂∂∂∂∂从而得到 2422224()()()e a h h t hτμτοτο∂=+++∂ 15.用Fourier 方法讨论向前差分格式的稳定性。

解：向前差分格式111(12)k k k k jj j j u ru r u ru 。

以exp()kk ju v i jh 代入得1exp()exp((1))(12)exp()exp((1))k v i jh r i j h r i jh r i j h vk 消去exp()i jh 则知增长因子21(,)(12)(exp()exp())12(1cos )14sin 2p hC x r r i h i h r h r 由于()2hphl在[0，π]中分布稠密，(随0h )为使1(,)p C x 满足von Neu-Mann 条件，必须且只须网比12r 所以向前差分格式的稳定性条件是12r16. 用Fourier 方法讨论向后差分格式的稳定性。