经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F 与A2E 并延长相交于Q 点， 连接EB2并延长交C2Q 于H 点，连接FB2并延长交A2Q 于G 点， 由A2E= A1B1= B1C1= FB2 ，EB2= AB= BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和
A F
G C
E B O D
∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．
求∠DEN ，不是吧，这求不出来的吧，是不是求证：∠DEN ＝∠MFC ．
连接AC,取AC 中点G,连接MG,NG
∵N,G 是CD,AC 的中点 ∴GN ‖AD,GN=0.5DA ∴∠GNM=∠DEN
同理,∠NMG=∠MFC,MG=0.5BC ∵AD=BC ∴MG=NG ∴∠GMN=∠GNM
D 2
C 2 B 2 A 2
D 1
C 1
B 1
C
B D
A
A 1
B
∴∠DEN ＝∠MFC
经典难题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O
（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线
EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）
分别过P、C、E、F作AB的垂线，垂足依次是Q、H、M、N。
∵ACDE是正方形，∴∠EAM、∠CAH互余，又∠CAH、∠ACH互余，∴∠EAM＝∠ACH，
∵ACDE是正方形，∴AE＝CA，显然有∠AME＝∠CHA＝90°，∴△AEM≌△CAH，∴EM＝AH。
∵CBFG是正方形，∴∠FBN、∠CBH互余，又∠FBN、∠BFN互余，∴∠BFN ＝∠CBH，
∵CBFG是正方形，∴BF＝CB，显然有∠BNF＝∠CHB＝90°，∴△BFN≌△CBH，∴FN＝BH。
由EM＝AH、FN＝BH，得：EM＋FN＝AH＋BH＝AB。
由PQ⊥AB、EM⊥AB、FN⊥AB，得：FN∥PQ∥EM，又EP＝FP，∴PQ是梯形EFNM的中位线，
∴由梯形中位线定理，有：PQ＝（EM＋FN）/2，结合证得的EM＋FN＝AB，得：
PQ＝AB/2。
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）Array证明：连接BD交AC于点O，过点E作EG⊥AC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，OD=BD/2
∵EG⊥AC，
∴∠EGO=90°，
∴∠DOC+∠EGO=180°，
∴OD//EG，
又∵OG//DE，
∴四边形DOGE是矩形，
∴DO=EG=BD/2=AC/2，
∵AE=AC，
∴在Rt△AGE中，EG=AE/2，∠ACE=∠AEC，
∴∠EAG=30°，
∴∠AEC+∠ACE=180°-∠EAG=180°-30°=150°，
∴∠AEC=∠ACE=150°÷2=75°，
∴∠ECF=∠ACE-∠ACD=75°-45°=30°，
∴∠EFC=180°-∠ECF-∠FEC=180°-30°-75°=75°，
∴∠EFC=∠CEF，
∴CE＝CF.
2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．
求证：AE ＝AF ．（初二）
过E ，D 分别做AC
∵AC 是正方形ABCD ∴DH = AC/2 ∵ED//AC ∴
EG=DH ∵AC = AE ∴DH = AE/2
∴在Rt △EGC 中，∠ECG = 30° ∴∠CEA = ∠CAE = 75° ∵∠DCA = 45° ∴∠DCF = 15°
∴∠EFA = ∠DFC = 75° ∴∠EFA = ∠FEA ∴AE = AF
3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．
求证：PA ＝PF ．（初二） 证明：【此题见过，E 应为BC 延长线上的点】 在AB 上截取AG=PC ，连接PG ∵ABCD 是正方形
∴AB=BC ，∠B=∠DCB=∠APF=90º【∵PF ⊥AP 】 ∵AC=CP
∴BG=BP 【等量减等量】 ∴∠BGP=∠BPG=45º ∴∠AGP=180º-∠BGP=135º ∵CF 平分∠DCE ∴∠FCE=45º
∴∠PC F=180º-∠FCE=135º ∴∠AGP=∠PCF ∵∠BAP+∠APB=90º ∠FPC+∠APB=90º
∴∠BAP=∠FPC 【加上∠AGP=∠PCF ，AG=PC 】 ∴⊿AGP ≌⊿PCF （ASA ） ∴PA=PF
4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于
B 、D ．求证：AB ＝D
C ，BC ＝A
D ．（初三）
经典难题（四）
1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．
求：∠APB 的度数．（初二）
2、设P 是平行四边形ABCD 部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP
BE
因为DP//AE ，AD//PE
所以，四边形AEPD 为平行四边形
所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP 所以，A 、E 、B 、P 四点共圆 所以，∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD 为平行四边形，所以：PE//AD ，且PE=AD 而，四边形ABCD 为平行四边形，所以：AD//BC ，且AD=BC 所以，PE//BC ，且PE=BC 即，四边形EBCP 也是平行四边形 所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB
3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
：∠DPA＝∠DPC．，到角两边距离相等的点在角的平分线上
经典难题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC任一点，l＝PA＋PB＋PC，求证：≤l＜2．
2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．
3、P 为正方形ABCD 的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．
4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．
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