求函数极限的方法和技巧在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。
本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。
一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义：例: 用极限定义证明：1223lim22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x ()2222-=--=x x x 0>∀ε，取εδ=，则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x 由函数极限δε-定义有: 1223lim22=-+-→x x x x 。
2、利用极限的四则运算性质：若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,例：求 453lim 22+++→x x x x解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+ 3、约去零因式（此法适用于型时0,0x x →）例: 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x=)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2lim -→x 735-=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型）例: 求 )2144(lim 22xx x ---→解: 原式=)2()2()2(4lim 2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim 2x x x x -+-→=4121lim 2=+→x x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量和有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：（I ）0)(lim 0=→x f x x (II) M x g ≤)((M 为正整数)则：0)()(lim 0=→x f x g x x例: 求 xx x 1sinlim 0⋅→ 解: 由 0lim 0=→x x 而 11sin≤x 故 原式 =01sin lim 0=⋅→xx x6、利用无穷小量和无穷大量的关系。
（I ）若：∞=)(lim x f 则 0)(1lim=x f (II) 若: 0)(lim =x f 且 f(x)≠0 则 ∞=)(1lim x f 例: 求下列极限 ① 51lim+∞→x x ②11lim 1-→x x解: 由 ∞=+∞→)5(lim x x 故 051lim =+∞→x x由 0)1(lim 1=-→x x 故 11lim 1-→x x =∞7、等价无穷小代换法设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：''~,~ββαα，''lim βα 存在，则βαlim 也存在，且有βαlim = ''lim βα例:求极限2220sin cos 1lim x x x x -→解: ,~sin 22x x 2)(~cos 1222x x - ∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=x x x 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。
1sin lim)(0=→x x A x e xB x x =+∞→)11(lim )(但我们经常使用的是它们的变形：''()sin ()1()lim1,(()0)()lim(1),(())()()x x A x B e x x x φφφφφφ=→+=→∞ 例：求下列函数极限x a x x 1lim )1(0-→、 bxaxx cos ln cos ln lim)2(0→、 )1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u a u x a a u x u a x x+=-+==-于是则）令解：（a u auu a u a u xa u x uu u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim 1lim 010000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当)]1(cos 1ln[)]1(cos 1ln[(lim )2(0-+-+=→bx ax x 、原式1cos 1cos 1cos )]1(cos 1ln[1cos )]1(cos 1ln[(lim 0--⋅--+--+=→ax bx bx bx ax ax x 1cos 1cos lim 0--=→ax bx x 222222220220)2()2()2(2sin )2(2sin lim 2sin 22sin 2lim ab x a x bx b x b x a xa xb x x x =⋅=--=→→α9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。
)()](lim [))((lim )()(lim )]([)()()(lim )()(000a f x f x f a u u f a x x f ii x f x f x x x f i x x x x x x x x ======→→→→ϕϕϕϕ处连续，则在且是复合函数，又若处连续，则在若例：求下列函数的极限)1ln(15cos lim)1(20x x x e x x -+++→、 （2） x x x )1ln(lim 0+→()1ln ))1(lim ln()1ln(lim )1ln(lim )1()1ln()1ln()2(6)0()1ln(15cos lim )1ln(15cos )(01010011202==+=+=++=+=+==-+++-+++==→→→→e x x xx x x x xx f x x x e x x x e x f x x x x x x xxx x x 故有：令、由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。
属于初等函数解：由于ϕ10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：nkmlx x mnkl x =--→11lim1m 、n 、k 、l 为正整数。
例：求下列函数极限 ① m xx m n x (11lim1--→ 、n )N ∈ ②1)1232(lim +∞→++x x x x 解: ①令 t=mn x 则当1→x 时 1→t ,于是原式=nmt t t t t t t t t t n m t n m t =++++-++++-=----→→)1)(1()1)(1(lim 11lim 121211ΛΛΛΛ②由于1)1232(lim +∞→++x x x x =1)1221(lim +∞→++x x x 令：t x 1212=+ 则 2111+=+t x ∴1)1232(lim +∞→++x x x x =1)1221(lim +∞→++x x x =2110)1(lim +→+t t t=e e t t t t t =⋅=+⋅+→→1)1(lim )1(lim 2101011、 利用函数极限的存在性定理定理:设在0x 的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x)，且有:A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0，则极限 )(lim 0x f x x →存在, 且有A x f x x =→)(lim 0例: 求 x nx ax +∞→lim (a>1,n>0)解: 当 x ≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x ≤k+1于是当 n>0 时有: k n x n a k a x )1(+< 及 aa k a k a x k n k n x n 11⋅=>+又Θ 当x +∞→时,k +∞→ 有=++∞→k n k a k )1(lim 00)1(lim 1=⋅=⋅+++∞→a a ak k n k 及 =++∞→1lim k n k a k 0101lim =⋅=⋅+∞→aa a k k n k ∴ x nx a x +∞→lim =012、用左右极限和极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。
定理：函数极限)(lim 0x f x x →存在且等于A 的充分必要条件是左极限)(lim 0x f x x -→及右极限)(lim 0x f x x +→都存在且都等于A 。
即有：⇔=→A x f x x )(lim 0)(lim 0x f x x -→=)(lim 0x f x x +→=A例：设)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤--1,10,0,212x x x x xx x e x 求)(lim 0x f x →及)(lim 1x f x → 1)1(lim )(lim )(lim 1)21(lim )(lim 0000-=-=-=-=-=+++--→→→-→→x xxx x f e x f x x x x x x Θ解：由1)(lim )(lim 0-==+-→→x f x f x x 1)(lim 0-=∴→x f x1112111lim ()lim lim 1)0lim ()lim 1(10)(10)lim ()x x x x x x f x f x x f f f x ---++→→→→→→=====-≠+∴Q 又由不存在13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若A x g x f x g x f A A x g x f iii x g x u x g f ii x g x f i x x x x x x x x x x ==∞∞±=≠==→→→→→)()(lim )()(lim ()()(lim )(0)()()(0)(lim ,0)(lim )('''''0000000），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与此定理是对0型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。