为， 线段的长度的取值范围为 ，其长度就是 2a
几何概型所有的可能性构成的区域的几何测度，只有当 时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足 事件 的区域的几何测度，所以
答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为 【评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域和
区域，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。 蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离为
评价：这是一种用计算机模拟试验的方法，结合几何概型 公式来计算若干函数围成的图形面积，其基本原理还是 利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数来代替豆子而已，另 外要求我们理解用试验的频率来近似概率的思想. 另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法：
§3. 概率
u 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件(
certain event )和不可能事件( impossible event )
随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 在次实验中发
生了次，当实验的次数很大时，我们称事件A发生的概率为 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律
【分析】点随机的落在线段上，故线段为区域 ，当点位于如图的内时，故线段 即为区域 解: 在上截取 ，于是 答：的概率为 【变式训练】如图，在等腰直角三角形中，在内部任意作一条射线，与 线段交于点，求的概率？ 错解：在上截取 ，在内部任意作一条射线，满足条件的看作是在线段
上任取一点，则有 【分析】这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思，我们再看看题 目的条件已经发生了改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过和任取 得一点所作的射线是均匀的，所以不能把等可能的取点看作是等可能的 取射线，在确定基本事件时一定要注意观察角度， 注意基本事件的等 可能性. 正解：在内的射线是均匀分布的，所以射线作在任何位置都是等可能 的，在上截取 ，则 ，故满足条件的概率为 评价：这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域和，
段结合几何概型求出概率，再用频率近似概率来建立等式，进而求出. 在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算 ，如中国的祖冲之父子 俩，还有撒豆试验，也是可以用来求 的.
会面问题：甲乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者等候另 一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率？ 解：设“两人能会面”为事件，以 x和y分别表示 甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充 要条件为： 在平面上建立如图所示的 坐标系，则的所有可能的结果是边长为60的 正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示， 由几何概型知， 答：两人能会面的概率 . ◆ 课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三角形中，在斜边上 任取一点，求的概率？
（） ， 向平面内任意的投掷一枚长为的针，求针与平行线相交的概率？
解：以表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以表示针与此直线 的交角，如图易知 ，有这两式可以确定平面上的一个矩形，这是为了 针与平行线相交，其充要条件为，有这个不等式表示的区域为图中的 阴影部分，由等可能性知
2a
如果 ，而关于的值，则可以用实验的方法，用频率去近似它，既: 如果 投针 N 次，其中平行线相交的次数为n次，则频率为 ，于是， 注释：这也是历史上有名的问题之一，用试验的方法先用数学积分的手
任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？ 解法1：（互斥事件）设事件 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥
事件为， 意义为“选取3个球都是白球” 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 . 解法2：（古典概型）由Байду номын сангаас意知，所有的基本事件有种情况，设事件
为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件所含有的基本事件数 有， 所以 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 . 解法3：（独立事件概率）设事件 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则 事件的情况如下：
略解： 变式训练2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长
都是 , 现有一直径等于的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有 公共点的概率？ 【分析】
因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点 只要圆心到网格线的距离小于等于半径 解：如图，正三角形内有一正三角形 ，其中
， 当圆心落在三角形 之外时，硬币与网格有公共点
求出其测度，再利用几何概型来求概率. 例3. 利用随机模拟法计算曲线所围成的图形的面积.
【分析】在直角坐标系中作出长方形（ 所围成的部分，用随机模拟法结 合几何概型可以得到它的面积的近似值）
解：（1）利用计算机或者计算器生成两组0到1区间上
的随机数， （2）进行平移变换：，其中分 别随机点的横坐标和纵坐标 （3）假如作次试验，数处落在阴影部分的点数， 用几何概型公式计算阴影部分的面积 由 得出
（1） （2） 则 答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 ，少1人抽到选择题的概率 为. 变式训练4：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个 黄球，从中不放回摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？ 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球，要么是1黄1球 略解: 变式训练5：设盒子中有6个球，其中4个红球，2 个白球，每次人抽一 个，然后放回，若连续抽两次，则抽到1个红球1个白球的概率是多少？ 略解: 例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在 该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及 距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域 内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放 急救物品无效的概率？ 【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量 解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为1千米的正方 形为区域 ，事件“发放急救物品无效”为 ，距离水池10米范围为区域 ， 即为图中的阴影部分， 则有
答：略 颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用 几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域 之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一 般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入 另外一个网格，分析是同样的
变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚 硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不 计，求硬币完全落在正方形内的概率？
对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则 称两个事件为对立事件 ，事件的对立事件 记为：
独立事件的概率：， 若
颜老师说明：① 若可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关 来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事 件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多 事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥 事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是 空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一 定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件 的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件是互斥事件，则有 ⑦ 一般 地，如果 两两互斥，则有 ⑧ ⑨ 在本教材中 指的是 中至少发 生一个 ⑩ ★ 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处 事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的 是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试 验教科书-苏教版）的例题
答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 . 解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有种情况，设事件 为“选
取2个球至少有1个是红球” ，而事件所含有的基本事件数有 所以 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 . 解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，事件有三种可能的情况：1红1白；1 白1红；2红，对应的概率分别为：， 则有 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 . 评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方 法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少! 变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中
例题选讲：
例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选 的2个球至少有一个是红球的概率？
【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可 以根据不同的思路有不同的解法 解法1：（互斥事件）设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥
事件为 意义为“选取2个球都是其它颜色球”
随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域内”为事件， 则事件发生的概率为 （ 这里要求的侧度不为0，其中侧度的意义由确定，一般地，线段的 侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图 像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区 域，即不含边界，在区域内随机地取点，指的是该点落在区域内任何 一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成 正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
红白白 1红2白 白 白 红
白红白 红红白 2红1白 红 白 红 白 红红 所以 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 . 变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中 任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率： （1）第1次抽到的是次品 （2）抽到的2次中，正品、次品各一次 解：设事件为“第1次抽到的是次品”， 事件为“抽到的2次中，正品、次 品各一次” 则 ，（或者） 答：第1次抽到的是次品的概率为 ，抽到的2次中，正品、次品各一次 的概率为 变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人 抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概 率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？ 【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙 抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人 抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥 事件的概率来 解：设事件为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件为“至少1人抽到选 择题”，则 为“两人都抽到填空题”