gY ( t ) = ∏ g X k ( t )
k =1 n
n
k =1
Ex.7 随机变量Y～B(n, p),写出其特征函数 写出其特征函数. 随机变量 ～ 写出其特征函数 二项分布随机变量Y可表示为 解 二项分布随机变量 可表示为Y = ∑ X k ,且 且 Xk～B(1, p),k=1,2,…,n, 相互独立,故Y 的特征 相互独立, , 函数为 n
g(t1 , t2 ) = E[e
i ( t1 X + t 2Y )
]= ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
ei (t1 x+t2 y )dF( x, y)
连续型 离散型
g(t1 , t 2 ) = ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
e i (t1 x + t2 y ) f ( x, y)dxdy
i ( t1 X r + t 2YsS )
特征函数、 §1.4 特征函数、母函数
一、特征函数的定义及例子 是实随机变量, 定义 设X,Y是实随机变量,复随机变量 是实随机变量 Z=X+i Y, , 的数学期望定义为 E ( Z ) = E ( X ) + i E (Y ), i = 1 特别 X是实随 是实随 itX Ee = E (costX ) + i E (sintX ) 机变量
g ( t ) = ∫ e itx f ( x )dx;
∞
+∞
g ( t ) = ∑ e itxk pk .
k
Ex.1 单点分布 P{X = c} = 1,
g( t ) = E (e itc ) = e itc , t ∈ R.
Ex.2 两点分布
g( t ) = e (1 p) + e
it 0 it 1
p
= 1 p + pe it = q + pe it , t ∈ R.
Ex.3 指数分布
λ e λ x , f ( x) = 0,
itx λx
x ≥ 0; x < 0.
(λ > 0)
g( t ) = ∫ λe e
0
+∞
dx
=
+∞ λx ∫0 λe costxdx
+i
+ ∞ λx λ ∫0 e sintxdx
t2
2
,则
φ
k =1
∑ Xk
n
(t ) = ∏ φ X k (t ) =
k =1
n
n
nt 2 e 2
,
,
t∈R
t∈R
从而 φ Y (t ) = φ
k =1
∑ Xk
(t
n
)=
t2 e 2
由唯一性定理知, ～ 由唯一性定理知,Y～N(0,1).
五、多维随机变量的特征函数 二维随机变量(X, 的特征函数定义为 定义 二维随机变量 Y)的特征函数定义为
∫ ∞ ∫ ∞
1
i t 1 x1 +L+ tn xn
(
)
n)
性质： 性质： 随机变量X 随机变量 1,X2,…,Xn相互独立的充要条件是
g ( t1 , t 2 , L , t n ) = k∏1 g X =
n
(tk ) k
母函数的概念: 定义：离散型随机变量 定义：离散型随机变量X 的分布律为 P{X=k}=Pk, k=0,1,2,…
k
存在,且 存在,
E ( X k ) = i ( k ) g k (0),
( k ≤ n)
Ex.5 随机变量 的概率密度为 随机变量X的概率密度为
1 cosx , f ( x) = 2 0, π π ≤ x≤ ; 2 2 其它.
求 E( X ) 和 D( X ).
解
g( t ) = 2∫
π
t ∈ R.
性质3 随机变量X的特征函数 性质 随机变量 的特征函数 g (t )在R上一致 上一致 连续,即对 连续 即对
ε > 0, δ > 0, 使 h < δ 时,对t 一致地有 对
g(t + h) g(t ) < ε
一般， 一般，δ =δ( ,t) ε
性质4 特征函数是非负定的函数， 性质 特征函数是非负定的函数，即对任意 正整数n, 任意复数 1, z2 ,…, zn,及 t r ∈ R, r = 1,2,L, n, 正整数 任意复数z 有
记 X ( s ) = E ( s ) = ∑ Pk s ,
X k k
称为随机变量X的母函数 称为随机变量 的母函数.
如X～P(λ),则 ～ 则
( s ) =
k =0
∑e
∞
λ
λ k λ (λs ) s = ∑e =e λ ( s 1) k! k! k =0
k
∞
k
母函数性质 母函数性质 1）有限个相互独立的随机变量之和的母函数 ） 等于各个随机变量的母函数之和； 等于各个随机变量的母函数之和； 2） (1) = 1, ）
1
t it λ = λ 2 2 + iλ 2 2 = 1 . λ λ +t λ +t
二、特征函数性质 性质1 任意随机变量的特征函数均存在,并满足： 性质 任意随机变量的特征函数均存在,并满足：
1)
证
g ( t ) ≤ g (0 ) = 1;
2) g(t ) = g(t ).
g ( t ) = E (e itX ) ≤ E e itX = 1.
itX
是定义在(Ω 上的随机变量, 定义 设X是定义在(Ω P )上的随机变量,称 是定义在(Ω,F, 上的随机变量
g( t ) = E e
( )= ∫
itX
+∞
∞
e itx dF ( x )
特征函数. 为X 的特征函数.
关于X的分布函数 是eitx 关于 的分布函数 富里埃的富里埃-司蒂阶变换
当X 是连续型随机变量 当X 是离散型随机变量
2
0
1 cosx costx dx 2
(Q f ( x ) =
f ( x ))
1 π = ∫02 [cos ( t + 1) x + cos ( t 1) x ]dx 2
1 1 π 1 π sin( t + 1) + sin( t 1) , t ∈ R. = 2 t + 1 2 t 1 2
( )
= ∫ ∞ costxdF ( x ) + i ∫ ∞ sintxdF ( x )
+∞
+∞
=
∫ ∞ e
E (e
+∞
itx
dF( x )
注
1） t ∈ R, costx和sintx 均为有界函数 故 ） 均为有界函数, 和
) 总存在. 总存在. itX 2) E (e )是实变量t 的函数. 是实变量t 的函数.
n n
∑ ∑ g (t
r =1 s =1
r
t s )z r z s ≥ 0.
注 以上性质中 g (0) = 1, 一致连续性，非负定性 一致连续性， 是本质性的. 是本质性的
波赫纳—辛钦定理 波赫纳 辛钦定理 函数为特征函数的充分必 上一致连续， 要条件是 g(t ) 在R上一致连续，非负定且 g(0) = 1. 上一致连续 性质5 特征函数与矩的关系,若随机变量 若随机变量X的 性质 特征函数与矩的关系 若随机变量 的 n阶矩存在,则X的特征函数 g (t ) 的k 阶导数 g (t ) 阶矩存在, 阶矩存在 的特征函数
g ( t1 , t 2 ) = ∑ ∑ e
r s
pr , s .
维随机向量( 定义 n维随机向量 X1,X2,…,Xn)的分布函数 维随机向量 的分布函数 为F(x1,x2,…,xn),则它的特征函数为 ,
g ( t 1 , t 2 , L , t n ) = E [e ] ∞ ∞ i (t1 x1 + L + t n x n ) L e dF ( x ,L, x =
Ex.4 设Y～N(μ,σ2),求其特征函数. 求其特征函数. ～ μ,σ ),求其特征函数 解：设X～N( 0,1),有Y=σX+, 且 ～ ,
g X (t ) = e
1 t2 2
, t ∈ R.
1 σ 2t 2 2
g Y ( t ) = e i t g X (σ t ) = e i t e
,
gY ( t ) = ∏ g X k ( t ) = ( q + pe it ) n
k =1
n
k =1
Ex.8 若X1,X2,…,Xn相互独立,且Xk～N(0,1), 相互独立,
1 n 也服从N(0,1)分布. 分布. 证明 Y = 分布 ∑ X k 也服 ) = e
E( X ) = ′(1), E( X 2 ) = ′′(1) + ′(1) .
3）非负整数值的随机变量的分布列由母函数唯 ） 一确定
F ( x ) φ(t )
问题 能否由 的特征函数唯一确定其分布函数？ 能否由X的特征函数唯一确定其分布函数 的特征函数唯一确定其分布函数？
φ(t ) F ( x )
φ(t )
F ( x) ？
四、独立随机变量和的特征函数 随机变量X 相互独立, 定理 随机变量 1 ,X2 ,…,Xn相互独立,令 Y = ∑ X k 则
1 ′ ( 0 ) = 0, ′′ ( 0 ) = 2 π 2 . 因 φ 4
故
E ( X ) = i g′(0) = 0;
1
1 2 1 2 D( X ) = E ( X ) = i g′′(0) = 2 π = π 2. 4 4